数学术语极限 _生活百科

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极限(数学术语)【数学术语极限】“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函式中的某一个变数，此变数在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变数的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势” 。极限是一种“变化状态”的描述。此变数永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
基本介绍中文名：极限
外文名：limit
套用领域：微积分
代表人物：柯西和魏尔斯特拉斯
极限数学号：lim
领域：数学
极限思想简介极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函式的一门学科。所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想” 。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变数，确认此变数通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函式的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是藉助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什幺学科?”那幺可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函式的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。极限的产生与发展（1）由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的套用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是藉助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他藉助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向” 。（2）发展极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联繫的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研究常量‘的传统範围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用’路程的改变数ΔS‘与’时间的改变数Δt‘之比 “

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” 表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等” 。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那幺就说an以A为极限。正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们对于科学理论的怀疑与攻击，例如，在物理学的’瞬时速度‘概念，究竟Δt（变化量）是否等于零？如果说是零，（因为真理如果被无限扩大其适用範围也会变为错误）：怎幺能用它去作除法呢？（其实变化量不可能为0）。但是人们认为，如果它不是零，计算机和函式变形时又怎幺能把包含着它的那些“微小的量”项去掉呢？当时人们不理解，想完全没有一点点误差地进行变数的计算而导致人们认为发生悖论，这就是数学史上所说的无穷小悖论产生的原因。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩” 。科学发展的历史和成功表明他的观点是错的。贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，和变通的解决办法，连名人牛顿也无法摆脱‘极限概念’中的混乱。这个事实表明，弄清“极限”概念，它是一个动态的量的无限变化过程，微小的变数趋势方向上当然可以极为精密地近似等于某一个常量。这是建立严格的微积分理论的思想基础，有着认识论上的科学研究的工具的重大意义。（3）完善极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联繫。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变数，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。对“变数”特有的概念理解还不十分清楚；对“变数数学”和“常量数学”的区别和联繫还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关係还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变数数学’的新发展。古代的人们习惯用旧概念常量就说明不了这种 [“零”与“无限靠近零的非零数值”之间可以人为的微小距离跳跃到相等的相互转化]的科学性结论的辩证关係。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过，各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，其描述的内涵接近于‘极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。观点也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念，大部分都是建立在几何量的概念上的。其实，“具象化”不是思维落后的代名词，对于几何直观的研究不是思维落后的代名词，因为在今天仍然是可以用函式’映射‘为图形，来研究较为複杂的趋势问题。如果有趋势则极限概念能够成立。例如“具象化”图形代替函式可绑架直观地证明某一个没有规律可描述的向用户久攻不下的命题不能成立；（或另外一个函式却能够成立），再分别作具体的“符号方式”的数学证明。首先用极限概念给出‘导数’的正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函式f(x)的导数定义为差商

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