数学术语极限( 三 ) _生活百科

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或

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。如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥a，就说数列{xn}不收敛于a 。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。对定义的理解：1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项

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与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，儘管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函式规律来求出N；又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数範围，因此可用它们的数值近似代替ε 。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那幺显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的

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都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。注意几何意义中：1、在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；2、所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。性质1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那幺这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”3、保号性：若

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（或<0），则对任何m∈(0,a)（a<0时则是 m∈(a,0)），存在N>0，使n>N时有

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（相应的xn<m）。4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有xn≥yn，则

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（若条件换为xn>yn ，结论不变）。5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那幺数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。6、与子列的关係：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。单调收敛定理单调有界数列必收敛。柯西收敛原理设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。函式极限自变数趋近有限值时函式的极限：定义：设函式f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，都

数学术语 极限( 三 )

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