数学术语极限( 二 ) _生活百科

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的极限f'(x)，他强调指出f'(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于‘极限的本质’他仍未描述清楚。到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了“极限概念”及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变数逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变数的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变数的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变数成为无穷小。” 柯西把无穷小视为“以0为极限的变数”，这就正确地确立了“无穷小”概念为“似零不是零去却可以人为用等于0处理”的办法，这就是说，在变数的变化过程中，它的值实际上不等于零，但它变化的趋向是向“零”，可以无限地接近于零。那幺人们就可以用“等于0”来处理，是不会产生错误结果的。柯西试图消除极限概念中的几何直观，（但是“几何直观”不是消极的东西，我们研究函式时也可以可以发挥想像力——“动态趋势的变数图像，假设被放大到巨大的天文倍数以后，我们也会永远不能看到变数值‘重合于0”，所以用不等式表示会更加“明确”）作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”比较通俗易懂的描述，对于概念的理解比较容易，因此其定义还保留着几何和物理的直观痕迹，一分为二，直观痕迹比较多也会有好处，但是结合下面的抽象定义可更加容易理解‘极限’的概念。为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓xn→x，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恆成立” 。这个定义，藉助不等式，通过ε和N之间的关係，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联繫。因此，这样的定义应该是目前比较严格的定义，可作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是‘数及其大小关係’，此外只是用给定、存在、任何等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。（但是理解’极限‘概念不能够抛弃‘运动趋势’去理解，否则容易导致’把常量概念不科学地进入到微积分’领域里）常量可理解为‘不变化的量’ 。微积分问世以前，人们习惯于用静态图像研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，考虑‘变化量’的运动思维方式进入了数学领域，人们就有数学工具对物理量等等事物变化过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯，建立的ε－N语言，则用静态的定义描述变数的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的上升演变，反映了数学发展的辩证规律。极限思想的思维功能极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的套用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变数与常量、无限与有限的对立统一关係，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的套用。藉助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从“直线构成形”认识“曲线构成形”，从量变去认识质变，从近似认识精确。“无限”与’有限‘概念本质不同，但是二者又有联繫，“无限”是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。“有限”是客观实际存在的千变万化的事物的“量”的映射，符合客观实际规律的“无限”属于整体，按公理，整体大于局部思维。“变”与“不变”反映了事物运动变化，与相对静止，两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力槓桿之一” 。例如，物理学，求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法无法解决，困难在于变速直线运动的瞬时速度是变数不是常量。为此，人们先在小的时间间隔範围内用“匀速”计算方法代替“变速”状态的计算，求其平均速度，把较小的时间内的瞬时速度定义为求“速度的极限”，是藉助了极限的思想方法，从“不变”形式来寻找“某一时刻变”的“极限”的精密结果。曲线形与直线形图像有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了” 。善于利用这种对立统一关係，是处理数学问题的重要手段之一。用直线构成的图形的面积易求；但是求曲线组成的图形的面积，用初等数学是不能準确地解决的。古人刘徽用“”圆内接多边形逼近圆面积”；人们用“变形为矩形的面积”来逼近曲边梯形的面积，等等，都是藉助于极限的思想方法，从直线形来起步认识曲线形问题的解答。无限逼近“真实值”（结论完全没有误差）思想，在数学研究工作中起着重要作用。例如对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到圆面积的近似答案还是圆内接正多边形的面积。人们不断地让其边数加倍增加，经过无限过程之后，多边形就“变”成一个与真实的圆面积相差不大的“假圆”，每一步“边数增加的变化”都可以使用原来的‘常量公式累计，得到越来越靠近真实值的“圆面积”，圆的边上的‘越来越多的新的小的三角形底边，变形中的数不清的三角形正反互补得到的矩形，其长边的总和的极限等于“圆周长的一半”与半径的乘积计算得到圆面积（就是极限概念的套用），趋势极限，愈来愈逼近圆面积。这就是藉助于极限的思想方法，化繁为简’解决求圆面积问题，其他问题思维方法一样。用极限概念解决问题时，首先用传统思维，用‘低等数学思维的常量思维建立某一个函式（计算公式），再想办法进行图像总的面积不变的变形，然后把某一个对应的变数的极限求出，就可以解决问题了。这种“恆等”转化中寻找极限数值，是数学套用于实际变数计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积方法”，分别是相应的“无穷级数之趋近数值”、“瞬时速度”、“求圆面积”的最为精确的近似值的办法，用极限思想，可得到相应的无比精确的结论值。这都是藉助于极限的思想方法，人们用‘无限地逼近’也可以实现精密计算结果’，用此新方法——微积分的极限思维，可满意地解决‘直接用常量办法计算有变化量的函式但无现成公式可用，所以计算结果误差大’的问题。建立的概念极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析着作中，都是先介绍函式理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函式、导数、定积分、级数的敛散性、多元函式的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：（1）函式在点连续的定义，是当自变数的增量趋于零时，函式值的增量趋于零的极限。（2）函式在点导数的定义，是函式值的增量与自变数的增量之比，当时的极限。（3）函式在点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。（5）广义积分是定积分其中为，任意大于的实数当时的极限，等等。解决问题的极限思想’极限思想’方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其採用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。人们通过考察某些函式的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极準确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信，用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函式计算方法得到极为準确的结论。数列极限定义可定义某一个数列{xn}的收敛：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多幺小），都?N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恆成立，那幺就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a 。记作

数学术语 极限( 二 )

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