群上调和分析 _生活百科

群上调和分析【群上调和分析】群上调和分析又称群上傅立叶分析、抽象调和分析。它是古典调和分析（即傅立叶级数与傅立叶积分理论）的统一与推广。它的研究对象是拓扑群上的函式或测度以及由它们构成的空间或代数。群上调和分析可以说是一门既具套用价值（正如它对机率论、数论与微分方程等所起的作用所说明的）又具理论意义的综合性学科。
基本介绍中文名：群上调和分析
国家：法国
背景：工业处理金属需要
领域：数学
基本简介法国科学家J.-B.-J.傅立叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函式都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅立叶分析的起源。由三角函式系{cos nx,sin nx} (n=0,1,2,…)组成的无穷级数称为三角级数,其中αn,bn为係数，与x无关。若级数(1)对于一切x收敛，它的和记为?(x)：则?(x)是一个具有周期2π的周期函式。上式两边分别乘以cos nx或sin nx，并且在(0,2π)上同时积分，就得到公式上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性,应当对级数(1)的收敛性加以必要的限制,例如一致收敛性等。但是,上面提供的纯形式运算,却提出了一个很有意义的问题:如果?(x)是一个给定的以2π为周期的周期函式,通过(3)可以得到一列係数αn,bn,从而可构造出相应的三角级数(1) 。这样得到的三角级数(1)是否表示?(x)？正是傅立叶,他首先认为这样得到的级数(1)可以表示?(x) 。给定?(x)，利用(3)得到的三角级数(1),称为?的傅立叶级数,而称(3)为?的傅立叶係数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函式系。特别,(n=0,±1，±2,…)是[0,2π]上的规範正交函式系，函式?关于它的傅立叶级数为称为?的傅立叶级数的复形式。发展概况傅立叶分析从诞生之日起,就围绕着“?的傅立叶级数究竟是否收敛于 ?自身”这样一个中心问题进行研究。当傅立叶提出函式可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函式?(x)的傅立叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函式?的傅立叶级数,在它的连续点上必收敛于?(x)；如果?在x点不连续，则级数的和是(?(x+0)+?(x-0))/2 。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅立叶级数收敛问题的过程中，才提出了函式的正确概念。因为在他的判别法中，函式在一个周期内的分段单调性，可能导致该函式在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函式的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函式。（G.F.）B.黎曼对傅立叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定?的傅立叶係数，要用到积分式(3) 。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函式》(1854)的论文中，为了使得更广一类函式可以用傅立叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函式