群上调和分析( 四 ) _生活百科

n-1)/n放宽为p>0，但他们的方法比较複杂,随着指标p的不同,h空间定义的一致性,当时并不清楚。70年代初，h空间的近代理论经历了引人注目的发展。D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪、M.L.西尔费斯坦于1971年，首先就一维的情形,证明的充分且必要的条件是,F(x+iy)的实部 u(x,y)的角形极大函式,稍后,C.费弗曼、施坦又把上述特徵推广到多维中去,并且进一步指出,当0<p<∞时,?(x)作为中某函式的边值函式的充分且必要的条件是：存在充分光滑的函式φ(x),,使得?关于φ的角形极大函式，这样，作为h(R)函式的实变函式论特徵，它完全可以脱离泊松核, 也无需藉助于解析函式或调和函式的概念,而纯粹是实变函式论的一种内在特性的反映，这是出乎人们的想像的。群上的傅立叶分析对于R=(-∞,∞)上定义的非周期可积函式?(x)，傅立叶积分代替了傅立叶级数(1)，而称为?的傅立叶变换。傅立叶级数(1) 和傅立叶积分(10)的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实,即它们都把函式?分解为许多个分量e(-∞<z<∞)或e(n=0,±1,±2,…)之和。例如对于傅立叶级数(1)，?(x)分解为сne(n=0,±1，±2,…)之和；而傅立叶积分(10)则表明,?(x)可以分解为无穷个弮(z)e(-∞<z<∞)之“和” 。分量的係数сn(n=0,±1,±2,…)以及弮(z)(-∞<z<∞)的确定，也有类似之处。事实上，它们都可以用下面的形式来表达：。(11)当?为具有2π周期的周期函式时，G=(0，2π)，，测度是G=[0,2π]上的勒贝格测度，此时 ,即傅立叶係数(4)；当 ?为定义在 (-∞，∞) 上的非周期函式时,x(t)=(-∞<x<∞), 而是(-∞,∞)上的勒贝格测度，公式(11)即为傅立叶变换。把函式?分解为许多个“特殊”函式{e}之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题。事实上，从群的观点看，无论是周期函式还是非周期函式，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算,称为G的拓扑。傅立叶级数或傅立叶积分的任务,正是研究G上定义的函式?(x)分解为群上许多“特殊”函式（例如e或e）之和的可能性,以及通过傅立叶係数或傅立叶变换来研究?自身的性质。对于一般的拓扑群G,相当于{e}或{e}的“特殊”函式是哪种函式；把这种“特殊”函式x(t)代入公式(11)，又必须确定G上的测度μ，以求出 ?的傅立叶变换，这是在群上建立傅立叶分析理论所必须解决的两个基本问题。对于直线群 R=(-∞,∞)，它的 “特殊”函式x(t)=e(-∞<x<∞)的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件:①x(t+s)=x(t)x(s),②|x(t)|=1，③x(t)是t的连续函式。用群表示论的术语来说,条件①、②、③合起来，正好说明 x(t)是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是 {e}(-∞<x<∞) 。对圆周群T而言，T的“特殊”函式全体xn(t)=e(n=0,±1,±2,…)除满足①～③以外，还满足条件④xn(2π)=1 。从群表示论的观点看，条件①～④合起来,说明T的“特殊”函式正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是{e|