群上调和分析( 五 ) _生活百科

n=0,±1,±2,…} 。这样,寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函式的问题,就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题。对于紧群或局部紧的交换群,群表示论的结果已经相当丰富,相应的“特殊”函式的研究也比较成熟。至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函式，尚是一个值得探索的难题。研究拓扑群上的测度是建立群上傅立叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分(11)离不开相应的测度。以可加的局部紧拓扑群R=(-∞,∞)为例，经典的勒贝格测度的主要特点是:①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限;②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的。人们自然要问,一般的拓扑群上,具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否唯一？这个问题,自1930年以来,经A.哈尔，A.韦伊以及И.М.盖尔范德等人的努力,已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍。例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑, 那幺测度dμ=xdx就是R上的哈尔测度。这是因为，对于任意的,这说明测度dμ=xdx关于位移是不变的。如果进一步求出群R的一切不可约酉表示，则经过计算，可以证明R的一切不可约酉表示就是{x|- ∞<t<∞} 。这样,由公式(11),对于群R上的可积函式?(x),?的傅立叶变换。上式表达的弮(t)正好又是经典的所谓梅林变换M ?(x),是R.H.梅林19世纪末为研究狄利克雷级数的有关性质时引进的。这个特例说明，群上的傅立叶分析，不仅把梅林变换统一到傅立叶变换中来，更重要的是，群论观点的引入，使得隐藏在某些现象背后的内在联繫，被揭示得更清楚更深刻了。参考书目A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed., Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.G.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2, Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.