群上调和分析( 三 ) _生活百科

l(0,2π)的特徵。如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理。豪斯多夫－杨定理设1<p≤2,p┡=p/(p-1),如果?∈l(0,2π)，Cn是?的复傅立叶係数，那幺；反之，如果{сn}(-∞<n<∞)是满足的複数列,那幺{сn}必为中某函式?的傅立叶係数，且。李特尔伍德-佩利理论上述豪斯多夫-杨定理的实质，是用傅立叶係数的大小来反映函式所属的空间，但它并没有给出空间L(0，2π)的傅立叶级数特徵。因此，不可能象帕舍伐尔公式那样，用傅立叶係数的大小来刻画l(0，2π)中函式的特徵。考虑函式，1<p<2,但。这样的函式是存在的。假设?0的傅立叶级数的复形式是,那幺可以证明,级数（±号随机地取）不是傅立叶级数,更不可能是L（0, 2π）中函式的傅立叶级数。这说明，不能简单地期望以傅立叶係数的大小来刻画l（p≠2）中函式的特徵。由J.E.李特尔伍德、 R.E.A.C.佩利首创, 后由A.赞格蒙以及J.马钦凯维奇等发展起来的理论，就给出了l(0,2π)空间中函式的傅立叶级数的特徵性质。方法是：把级数进行“二进”分割成如下的序列：；。那幺当1<p<∞时,存在绝对常数с1、с2，使得 (6)！！。极大函式20世纪50年代以前的重要工作中，还应当提到哈代与李特尔伍德的其他许多贡献。特别是30年代，他们用极大函式研究傅立叶级数，取得了很深刻的结果。极大函式是一种运算元，它的定义是极大函式M (?)(x)比函式自身要大，用它来控制傅立叶分析中某些运算元，可以达到估计其他运算元的目的。50年代以前，傅立叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间，50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广。考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要，50年代出现的考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论，标誌了调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当?∈l(Rn)，泊松方程Δu=?的基本解u(x)的二阶导函式,在一定条件下（例如?具有Lip α连续性），可以表成如下的奇异积分сn为某常数，仅与维数n有关。积分 (8)作为勒贝格积分一般是发散的；注意到Ωj(y)在R的单位球面S上的积分为0，可以证明，积分(8)在柯西主值意义下存在，并且作为x的函式是连续的，从而u(x)是泊松方程的解。考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分运算元(9)的性质，这里Ω(y) 是具有一定光滑性的零阶齐次函式，且满足条件。他们证明了这种积分运算元具有l有界性(p>1)；利用这些性质,可以得到某类微分方程中解的“先验估计” 。h空间理论的近代发展 E.M.施坦、G.韦斯于20世纪60年代,引进了上半空间上的h空间,它们是n=1的推广。当n=1时,h(p>0)空间中的函式在R=(-∞,∞)上的边值函式几乎处处以及在l範数下都存在，施坦、韦斯定义的多维空间, 显然是一维 h(R崹)空间的推广。人们自然要问,经典的 h(R崹)空间中最基本的性质，例如边值函式的存在性等，在多维空间中是否还被保留？施坦、韦斯首先发现,p>(n-1)/n时，答案是肯定的;例如他们证明,若F∈,p>(n-1)/n，那幺几乎处处以及在L範数意义下都存在。1964年，考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念，原则上把h空间的上述限制p>(