从火星传图有多难-业余眼光看深空通信( 二 ) _天线增益

1.3 对数表示
前面看到，用科学计数法非常容易出错，这是因为我们大量进行乘除法。比如，真空中的发射机的发射功率为 p (mw），聚焦天线角度是a弧度，传输距离是R米，真空中接收天线位置1平方米内收集的理想功率是q(mw)
q = 1.0 2 π R 2 ( 1 ? cos ? ( a ) ) p q={1.0 \over {2\pi R^2 (1-\cos(a))}}p q=2πR2(1?cos(a))1.0?p
这个公式会让一些计算器溢出。对数可以把乘法除法变成加减, 而且不用考虑复杂的科学计数法。我们采用分贝表示相对的倍数，分贝毫瓦表示绝对的功率。对各个参数取10的对数，再乘以10,得到对数单位的表示。
Q = 10 l o g 10 q = 10 l o g 10 p 2 π R 2 ( 1 ? cos ? ( a ) ) Q={10}{q}={10}{{p} \over {2\pi R^2 (1-\cos(a))}} Q=?q=?2πR2(1?cos(a))p?
Q = 10 l o g 10 p ? 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 ? cos ? ( a ) ) = P ? 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 ? cos ? ( a ) ) Q={10}{p}-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))}=P-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))} Q=?p??2πR2(1?cos(a))=P??2πR2(1?cos(a))
设 Y p = ? 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 ? cos ? ( a ) ) , 则 Q = P + Y p 设Yp=-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))},则Q=P+Yp 设Yp=??2πR2(1?cos(a)),则Q=P+Yp
可以简单的理解为，接收位置单位平方米的功率等于发射功率减去路径的衰减Yp 。我们带入具体数值：a=20度，R=4亿千米（换算为米），则：
Y p = ? 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 ? cos ? ( a ) ) Yp=-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))} Yp=??2πR2(1?cos(a))
Q = P ? 227.83 d B Q=P-227.83dB Q=P?227.83dB
227分贝的衰减是距离导致的几何能量衰减，在普通的通信中，真的是不可想象。
2 传播损耗的定量计算
上面推导的方法便于定性理解耗散，不过用锥角度折算聚焦增益，是很感性、不精确的。一般计算天线的指向性能，都要使用有限元工具，结合材料、尺寸、频段来仿真，并在微波暗室测量得到天线各个方向的聚焦性能。描述传播损耗与增益，一般在对数轴使用弗里斯公式+天线增益的方式进行加减运算。
2.1 弗里斯公式 2.1.1.发射部分
假设三维空间一个全向均匀的天线，向外发射电磁波。则在空间距离D处，这个球面所在位置的功率密度为

文章插图
E = 1 A = 1 4 π D 2 E={1 \over A}={1 \over {4\pi D^2} } E=A1?=4πD21?
E的量纲为“每平方米”，即，如果发射能量为1单位，D距离（米）为半径的球面上，单位面积1平方米对应的能量为E单位。
2.1.2.接收部分
在D距离处，有一个等效的全向天线（一个理想振子）。全向天线阵子可以理解是一个导线，等效面积究竟是多少呢？这里用到一个全向天线的“电尺寸”概念，一个全向理想振子的等效截面积是
S = λ 2 4 π S={\^2 \over {4\pi } } S=4πλ2?
上述波长 λ \ λ单位为“米”，后面发现这个单位“米”很关键。S量纲为“平方米”
2.1.3.收发合并
【从火星传图有多难-业余眼光看深空通信】收发合并后，接收到的能量密度：
R = E S = 1 4 π D 2 λ 2 4 π R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{\^2 \over {4\pi } } R=ES=4πD21?4πλ2?
R是比例（百分比），无量纲。由于波长等于光速除以频率，即：
λ = C F \= {C\over F} λ=FC?
因此上式可以写为：
R = E S = 1 4 π D 2 C 2 4 π F 2 R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{C^2 \over {4\pi F^2 } } R=ES=4πD21?4πF2C2?
注意，光速为米/秒，频率单位为赫兹（Hz）
2.1.4. 带入单位得到弗里斯公式
用d千米(km)表示距离D，用 f 兆赫兹(MHz)表示频率F 。这样，上述公式变为：
R = 1 4 π ( 1 0 3 d ) 2 ( 3 × 1 0 8 ) 2 4 π ( 1 0 6 f ) 2 = ( 3 40 π ) 2 ( 1 d ) 2 ( 1 f ) 2 R={1 \over {4\pi (10^3d)^2} }{(3 \^8 )^2 \over {4\pi (10^6f)^2 } }=({3\over{40\pi}})^2({1\over d})^2({1\over f})^2 R=4π(103d)21?4π(106f)2(3×108)2?=(40π3?)2(d1?)2(f1?)2