最近天问顺利登陆火星的消息非常热门，有同学问我，火星车、轨道器通信速率都很慢，尤其是火星车，1秒只能发2字节 。想看一张图片，要等三四天，真的急死人 。作为非通信专业的老师，讲给非通信专业的本科生，我想还是来几个小科普，争取用很简单的初等数学来解释这个问题 。
影响传输速率，导致火星车三天多才能传回图像的有两个因素 。一方面是通信传输速率本身很慢 。另一方面，是因为地球-火星都在自转，即使有轨道器配合中继，一天之内能构成可视的总时间少的可怜 。今天，我们先讲一下第一点，就是简单计算一下，到底为什么传输速率这麽慢 。注意，下面的所有公式，都不是真正精确计算电磁波的耗散 。电磁波耗散与频率有关，下面的公式只是从理解的角度示意性的解释 。具体的耗散公式请参考专业的资料 。
1 电磁波传播的感性认识
无线电看不见摸不着 。同学们可以以可见光来思考这个问题，一样一样的 。火星大气很稀薄，无论是火星车还是轨道器，从它们到地球大气层之外，可以近似为真空传播 。
1.1 用灯光想象电磁波
假设无限真空里一个灯泡，位于原点，某个时刻，其发出的光，会均匀地向四周传播 。在传播距离R处，光的能量（功率）均匀地分布在以灯泡为中心，R为半径的球面上，表面积是 A = 4 π R 2 A=4 \pi R^2 A=4πR2 。这个时候，如果你在球面上的某个位置，放置一块太阳能收集板（接收天线，理想100%效率），面积为 S，则能够收集到的能量为总能量的多少分之一呢？我们把这个倍数设为r，
r = S A = S 4 π R 2 r={S \over A}={S \over {4\pi R^2} } r=AS?=4πR2S?
火星距离地球5000万到4亿公里 。为了保证在最远距离上也能通信，R取最远，即四亿公里，和 0 米，即 4 × 1 0 11 4 \times 10^{ 11} 4×1011米 。
如此长的距离， A = 2.01 × 1 0 24 A = 2.01\times 10^{24} A=2.01×1024 平方米， r = y S = S / A = 4.97 × 1 0 ? 25 S r = yS=S/A=4.97 \times 10 ^ {-25} S r=yS=S/A=4.97×10?25S
显然，如果使用全向点光源，能量的利用率是很差的，4.97e-25折合为对数，Y=-243dB,太大的损耗 。不过，实际上天问一号上面搭载的是定向的天线，损耗比这个小 。
clc;clear;R=4e11;A=4*pi*R^2;y = 1/A;Y=10*log(y)/log(10);
1.2 “聚光灯”效应
为了把有限的功率集中指向地球，一般发射天线会采用抛物面等几何形状，把“光”也就是电磁波聚焦到一个特定的方向 。最理想的当然是激光了，但限于天线的工艺和尺寸，一般做不到 。关于何种天线、多大口径的天线能够把光柱聚拢到多窄，是专业的天线学科的内容 。我们只使用它的结果——天线口径越大，聚光效果越好 。假设，使用的天线能够把光束绝大多数能量都聚集在一个角度内，如下图所示：
主要能量都集中在半角度为a的锥体内，且均匀分布（理想），则传播距离R后，能量分布的球冠面积是
A ′ = 2 π R 2 ( 1 ? cos ? ( a ) ) A'=2\pi R^2 (1-\cos(a)) A′=2πR2(1?cos(a))
这个角度值和天线尺寸趋势相反 。由于航天器无法用很大的天线，火星车就更小了，导致角度不会很小 。一般来说，小天线能够做到a=30度以内，已经不错了 。轨道器可能稍微好一些，本文就以20度作为例子，此时， A ′ = 6.0628 × 1 0 22 A'= 6.0628\times 10^{22} A′=6.0628×1022 平方米, 单位能量密度因子yp=1.6494e-23,
r ′ = S / A = S ? y p = 1.6494 × 1 0 ? 23 S r'=S/A=S*yp=1.6494\times 10^{-23}S r′=S/A=S?yp=1.6494×10?23S
折合对数Yp=-227.83dB，效率提高了约100倍 。
a = pi* 20 /180;Ap = 2*pi*R^2*(1-cos(a));yp = 1/Ap;Yp=10*log(yp)/log(10);