什么是实数？实数包括什么数？( 四 ) _虚数

所有非负实数的平方根都属于R，但对于负数不成立。这说明R上的阶是由其代数结构决定的。而且所有奇多项式至少有一个根属于R，这两个性质使得R成为实闭域最重要的例子。证明这个是证明代数基本定理的前半部分。
实数集有一个规范测度，即勒贝格测度。
实数集的上确界公理适用于实数集的子集，是二阶逻辑的陈述。仅仅用一阶逻辑是无法描述实数集的:1 。-定理表明实数集有一个可数的稠密子集，它满足与一阶逻辑中实数集本身完全相同的命题。2.超实数的 *** 远大于R，但也满足与R相同的一阶逻辑命题，满足与R相同的一阶逻辑命题的有序域称为R的非标准模型，这是非标准分析的研究内容。用非标准模型(可能比R中简单)证明一阶逻辑命题，从而保证这些命题在R中也成立。..
拓扑性质
实数集构成空:x和y的距离设为绝对值|x-y| 。作为一个全序集，它也有一个有序拓扑。这里，从度量和顺序关系获得的拓扑是相同的。实数集是一维可缩空(所以也是连通空)，局部紧空，可分空和贝利空。但是实数集并不紧凑空。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续的可排序拓扑必须与实数集同胚。以下是实数拓扑性质的概述:
设a是一个实数。的邻域是实数集的子集，它包含一个线段，线段的。
r是可分的空。
q在r中处处稠密。
R的开集是开区间的并集。
r的紧子集是有界闭集。特别地，所有带端点的有限线段都是紧子集。
R中的每个有界序列都有一个收敛子序列。
r是连通的和单连通的。
R中的连通子集是线段、射线和R本身。从这个性质可以很快导出介值定理。
6延伸和概括
实数集可以以几种不同的方式进行扩展和推广:
也许最自然的扩展是复数。复数集包含所有多项式的根。然而，复杂 *** 不是有序域。
实数集扩充的有序域是一组超实数，包括无穷小和无穷小。这不是阿基米德的领域。
有时，形式元素+∞和-∞加到实数集上，形成一个扩展的实数轴。它是紧空区间，不是定义域，但保留了实数的许多性质。
为此，毕达哥拉斯本人甚至认为“一切都是一个数”，这里的数指的是自然数(1，2，3...)，而所有的正有理数都是通过自然数的比值得到的。有理数集存在“缺口”这一事实，对当时的许多数学家是一个极大的打击；参见之一次数学危机。
从古希腊到十七世纪，数学家们逐渐接受了无理数的存在，并将其视为与有理数相等的数。后来引入虚数的概念以示区别，意为“实数” 。当时，虽然虚数出现并被广泛使用，但实数的严格定义仍然是个难题。直到明确了函数、极限、收敛等概念，19世纪末的戴德金、康托尔等人才严格处理实数。[2]
实数和虚数的区别是什么？
一.不同的定义
1.实数
实数可以用来度量连续的量。理论上，任何实数都可以表示为一个无限小数，小数点右边是一个无穷级数(循环或非循环) 。
实际中，实数往往近似为一个有限小数(小数点后保留n位，n为正整数) 。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，所以实数往往用浮点数来表示。
2.虚数
在数学中，指数为负的偶数被定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为I =-1 。但虚数没有算术根，所以√ (-1) = i .对于z=a+bi，也可以表示为e的iA的幂，其中e为常数，I为虚数单位，A为虚数幅度，可以表示为z=cosA+isinA 。
由实数和虚数组成的一对数被视为复数范围内的一个数，故称为复数。虚数既不是正数也不是负数。不是实数的复数，即使是纯虚数，也无法比较大小。