什么是实数？实数包括什么数？( 三 ) _虚数

图集(4张)
四个动作的结束
实数 *** R接近于加减乘除四则运算(除数不为零)，即任意两个实数(除数不为零)的和、差、积、商仍是实数。
整齐的
【什么是实数？实数包括什么数？】实数 *** 是有序的，即任意两个实数A和B必须满足以下三个关系中的一个:ab，a=b，ab 。
-传递性
实数的大小是传递的，即如果ab，bc，就有ac 。
阿基米德性质
实数具有阿基米德性质，即对于任意a，b ∈R，若ba0有正整数n，设nab 。
集中（注意力）
实数集R是稠密的，即两个不相等的实数之间一定有另一个实数，既有有理数也有无理数。
独特性
如果确定一条直线(通常是水平直线)为原点，指定一个正方向(通常是右方向)，指定一个单位长度，那么这条直线就叫做数轴。任何实数都对应和轴上的一个唯一点；相反，数轴上的每个点都唯一地代表一个实数。所以实数R的 *** 与数轴上的点一一对应。
分门别类
作为度量空或一致空区间，一组实数是一个完整的空区间，它具有以下性质:
1.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数的 *** 是不完全的空。例如，(1，1.4，1.41，1.414，1.4142，1.41421，...)是有理数的柯西序列，但是没有有理数极限。其实它有一个实极限√2 。实数是有理数的完成——这也是构造实数集的一种方式。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线上没有“空缺口” 。
2.“完整有序域”
实数集通常被描述为“完全有序域”，这可以有几种解释。
首先，有序域可以是完整的格。但是，我们很容易发现，没有一个有序场可以是一个完备的格。这是因为有序域没有更大元素(对于任何元素z，z+1都会比较大) 。所以，这里的“完全”并不是指完全晶格。
另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已有定义。唯一性也说明这里的“完备性”就是戴德金完备性。这种完备性的含义与戴德金除法构造实数的方法非常接近，即从有理数的有序域出发，用标准方法建立戴德金完备性。
这两个完整性概念忽略了领域的结构。但是有序群(域是一个特殊的群)可以定义为空，空有空。
概念。上述完整性仅描述了特殊情况。(这里采用了一致性空中的完备性概念，而不是相关的众所周知的测度空中的完备性，因为测度空之间的定义依赖于实数。
的性质。当然，R不是唯一一致完备的有序域，但它是唯一一致完备的阿基米德域。事实上，“完全阿基米德域”比“完全有序域”更常见。可以证明，任何一致完备的阿基米德域必是戴德金完备的(当然反之亦然) 。这种完备性的意义与柯西级数构造实数的方法非常接近，即从有理数的阿基米德域出发，用标准方法建立一致完备性。
“完全阿基米德域”最早是希尔伯特提出来的，他也想表达一些不同于上面的意思。他认为实数构成了更大的阿基米德域，即所有其他阿基米德域都是R的子域，所以说R是“完全的”意味着在它上面增加任何元素都会使它不再是阿基米德域。这种完备性的意义非常接近于超实数构造实数的方法，即从包含所有(超实数)有序域的纯类出发，从其子域中寻找更大的阿基米德域。
进步
实数集是不可数的，即实数的个数严格大于自然数的个数(虽然两者都是无穷大) 。这可以用康托对角线法来证明。其实实数集的势是2ω(见连续统的势)，这是自然数集的幂集的势。因为实数集中只有可数元素可能是代数数，所以大多数实数都是超越数。在实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集且严格小于实数集的 ***，这就是连续统假说。这个假设不能被证明是正确的，因为它与 *** 论的公理无关。