相似三角形的判定和性质相似三角形的判定证明相似的四种判定 _三角

一.比例线段
1、比例线段的相关概念
比例线段：如果选用同一长度单位量的两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
若四条a，b，c，d满足a/b=c/d或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。
注意：线段的单位要统一.
比例中项：如果作为比例内项的是两条相同的线段，即a/b=c/d或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。

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例1.下列四条线段中,能成比例线段的是?()
A.a=1,b=1,c=2,d=3
B.a=1,b=2,c=3,d=4
C.a=2,b=2,c=3,d=3
D.a=2,b=3,c=4,d=5
例2.若a∶b=3∶4,且a+b=14,则2a-b的值是()
A.4B.2C.20D.14
例3.如图,矩形纸片ABCD中,AB>AD,E,F分别是AB,DC的中点,将矩形ABCD沿EF所在直线对折,若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似,则AB与AD的数量关系为.

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2、黄金分割:把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，即AC/BC=AB/AC或AC2=AB×BC,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=(√5-1)/2AB≈0.618AB
注意：（1）线段的黄金分割点有两个；
（2）黄金分割的几何作图.
3、比例的性质

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二.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。由l3∥l4∥l5,得.

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推论：
（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例4.如图27-2-1-2,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3,DE=2,BC=6,则EF=.

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三.相似三角形
1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于” 。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

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用数学语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′∽△ABC
（3）传递性：若△ABC∽△A′B′C′，并且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″ 。
四.三角形相似的判定
1、三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法（A型或X型）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

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例5.将△ABC沿AB向右平移得到△DEF,DF交BC于点O,连接CF,则图中相似三角形的对数为?()
?A.3B.5C.6D.7

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③两角定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，两角对应相等，两三角形相似.

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归纳总结：用两角分别相等来判定三角形相似是常用方法,应掌握好寻找等角的方法,同时要注意图形中隐含的等角条件,如公共角、对顶角等.
例6.正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.求证:△EBF∽△FCG.

相似三角形的判定和性质 相似三角形的判定 证明相似的四种判定

相似三角形的判定和性质相似三角形的判定证明相似的四种判定