迭代学习控制算法在自动驾驶车辆轨迹跟踪中的应用( 二 ) _控制

2、车辆系统动力学和问题概述
本文中，自动驾驶车辆用最小时间沿着给定赛道行驶的控制目标分为侧向运动控制问题和纵向运动控制问题。侧向控制器利用方向盘转角输入跟踪参考轨迹（图1.a）。赛道一般以曲率沿着距离的变化表示（图1.b）。对于雷山赛道，可以利用文献[7]的办法计算最高速度和曲率的分布图。另外，车速跟踪控制器[8]不受ILC控制器的影响。

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图 1.a

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图 1.b 曲率与速度分布图
A．侧向车辆动力学
图2.a给出车辆跟踪给定曲率路径的示意图。车辆偏离期望路径的侧向位移误差e是ILC算法的测量输出。由于ILC控制器需要通过数次迭代来确定合适的前馈控制输入，因此，要求系统的控制输入和控制输出之间满足渐进稳定的关系。对于主动转向控制系统，转角和侧向位移误差的传递函数可以由原点处的两个极点表征，因此需要一个额外的反馈稳定性控制器。

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图 2 二自由度平面车辆轨迹跟踪模型
本文利用预瞄控制作为系统的反馈稳定性控制器。预瞄误差定义为：
其中，△Ψ是车辆的航向角误差，XLA是预瞄距离，一般约5-20m 。反馈控制律为：
kp为比例增益系数。控制律（2）是由一般的车道保持控制算法拓展得到的，文献[9]给出了kp和xLA的选择方法。文献[10]证明了在轮胎力饱和情况下该系统的稳定性。
通过增加反馈控制器，侧向位移误差的闭环动力学系统取决于三个状态：车辆侧偏角、横摆角速度以及航向角误差。车辆平面运动的系统动力学模型如下：
由于自动驾驶赛车常常行驶在轮胎的附着极限边缘，侧向力通过非线性的Fiala刷子轮胎模型进行建模，并假设附着系数不变以及轮胎力的抛物线假设[11] 。前后轴的侧向力分别是前后轮胎侧偏角的函数，如式（4）所示。
线性轮胎侧偏角通过式（5）计算得到。

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B．“-”中的线性时变模型
虽然式（4）的非线性轮胎模型能够较好地反映极限工况下的轮胎力饱和现象，但是本文设计的两个ILC控制器需要一个线性系统假设。因此，在小侧向工况下，简单的线性轮胎模型如下：

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线性时变模型考虑了车辆前进速度的变化。尽管式（3）中缺乏车辆的纵向动力学模型，考虑速度变化后能够让系统动力学控制更加精确。时变状态空间矩阵为：

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假设每一圈的扰动都保持一致：
将系统离散化后得到：
k是时间采样下标，j是圈数。将系统动力学方程在“-”中表示能够有利于ILC控制器的设计。

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假设车速不变的话，我们将得到一个只有N个元素的线性时不变系统，因此P矩阵将会成为一个托普利兹矩阵。
控制器设计
在获得了上一圈的转向动态和完整的位移误差数据之后，下一步就是设计控制算法来确定下一圈的转角控制输入。如文献[12]，采用常规的迭代学习算法框架来确定转角输入：
其中，Q是滤波矩阵，L是学习矩阵。在下一节中，Q和L矩阵将通过PD类型的ILC控制器和二次最优Q-ILC控制器得到。