什么是自然数什么是整数 _自然数

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摘自“数学极客：探索数字、逻辑和计算之美”，由Press 授权，感谢 [Meet Math]！
第 2 章整数
自然数是我们最先认识的数字，但它们完全不够用。鉴于我们处理数字的方式，您最终不可避免地需要扩展到自然数之外。
如果你去商店买东西，付钱换取你想买的东西。你可以花3块钱买一些面包，如果你给主人5块钱，主人要找你2块钱。
当您尝试使用自然数来理解这个过程时，它是没有意义的。资金流向两个不同的方向。第一个方向是从你到商店——花钱；第二个是从商店给你 - 找零。正数和负数可以让我们区分流动的两个方向。

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2.1 什么是整数
如果你有自然数并且想要整数，你所要做的就是添加一个加法逆。如果您了解自然数并想进一步了解整数，那么您只需要添加一个方向。想象一条数字线。自然数从0开始向右延伸，与0的左边无关；整数基于自然数，加上从 0 向左延伸的负数。
整数的含义遵循方向的概念。在基数和序数方面，正整数与自然数完全相同。负整数可以让你朝另一个方向移动。如果从基数的角度考虑，整数可以描述集合之间的移动元素。如果你有一组 27 号和另一组 29 号，那么为了使这两组的尺寸相同，你可以选择在第一个集合中添加两个元素，或者从第二个集合中移除两个元素。如果您将两个元素添加到第一组，那么您正在以正基数做事。如果你从第二个集合中删除两个元素，那么你做的事情就是负基数。
从序数的角度更容易理解。如果您正在查看集合中的第 3 个元素，然后想查看第 5 个元素，则向前移动 2 步，此动作由正序数描述。如果您正在查看第 5 个元素，然后想查看第 3 个元素，然后向后移动 2 步，则该动作由否定序数描述。
【什么是自然数什么是整数】让我们转向公理化定义。整数是通过向自然数添加逆规则扩展的数字。从自然数集合 N 开始，加上皮亚诺法则，我们只需要添加一个加法逆的附加定义。非零自然数的加法逆是负整数。要获取整数，我们只需要添加以下两条新规则即可。
加法逆元：对于任何非零的自然数n，总有一个非自然数的数-n，使得n+(-n)=0 。我们称-n为n的加法逆元，自然数的集合及其加法逆元称为整数。
逆元唯一性：对于任意两个整数 i 和 j，当且仅当 i 是 j 的加法逆元，j 是 i 的加法逆元。
通过这些规则，我们得到了一些新的东西。我们之前讨论的自然数不满足这些规则。那么新事物（负整数）是从哪里来的呢？
答案有点令人失望。他们不是来自任何地方，他们就在那里。在数学中，我们不能创造物体，我们只能描述它们。这些数字（自然数、整数、实数）的存在是因为我们定义了描述它们的规则，而这些规则描述的东西彼此兼容。
对于这一切，有一句时髦的说法：整数就是所有的数字，包括零、正数和负数。
同样，如果你定义了自然数的加法，加法逆规则就足以使加法也适用于整数。而且，由于自然数的乘法只是重复加法，因此乘法也适用于整数。
作者带你从数的基础开始一段美妙的数学之旅，首先探索了整数、自然数、有理数、余数、零、黄金比例、虚数、罗马数字等一些有趣又奇怪的数、埃及分数和连续分数，带你领略数字的乐趣、数字的美和数字的用途，进而深入学习现代逻辑，包括线性逻辑、语言等，以及进步现代集合论和现代机械化计算的悖论，带你感受数学的逻辑和计算。

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