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摘自“数学极客:探索数字、逻辑和计算之美”,由Press 授权,感谢 [Meet Math]!
第 2 章整数
自然数是我们最先认识的数字,但它们完全不够用 。鉴于我们处理数字的方式,您最终不可避免地需要扩展到自然数之外 。
如果你去商店买东西,付钱换取你想买的东西 。你可以花3块钱买一些面包,如果你给主人5块钱,主人要找你2块钱 。
当您尝试使用自然数来理解这个过程时,它是没有意义的 。资金流向两个不同的方向 。第一个方向是从你到商店——花钱;第二个是从商店给你 - 找零 。正数和负数可以让我们区分流动的两个方向 。
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2.1 什么是整数
如果你有自然数并且想要整数,你所要做的就是添加一个加法逆 。如果您了解自然数并想进一步了解整数,那么您只需要添加一个方向 。想象一条数字线 。自然数从0开始向右延伸,与0的左边无关;整数基于自然数,加上从 0 向左延伸的负数 。
整数的含义遵循方向的概念 。在基数和序数方面,正整数与自然数完全相同 。负整数可以让你朝另一个方向移动 。如果从基数的角度考虑,整数可以描述集合之间的移动元素 。如果你有一组 27 号和另一组 29 号,那么为了使这两组的尺寸相同,你可以选择在第一个集合中添加两个元素,或者从第二个集合中移除两个元素 。如果您将两个元素添加到第一组,那么您正在以正基数做事 。如果你从第二个集合中删除两个元素,那么你做的事情就是负基数 。
从序数的角度更容易理解 。如果您正在查看集合中的第 3 个元素,然后想查看第 5 个元素,则向前移动 2 步,此动作由正序数描述 。如果您正在查看第 5 个元素,然后想查看第 3 个元素,然后向后移动 2 步,则该动作由否定序数描述 。
【什么是自然数什么是整数】让我们转向公理化定义 。整数是通过向自然数添加逆规则扩展的数字 。从自然数集合 N 开始,加上皮亚诺法则,我们只需要添加一个加法逆的附加定义 。非零自然数的加法逆是负整数 。要获取整数,我们只需要添加以下两条新规则即可 。
加法逆元:对于任何非零的自然数n,总有一个非自然数的数-n,使得n+(-n)=0 。我们称-n为n的加法逆元,自然数的集合及其加法逆元称为整数 。
逆元唯一性:对于任意两个整数 i 和 j,当且仅当 i 是 j 的加法逆元,j 是 i 的加法逆元 。
通过这些规则,我们得到了一些新的东西 。我们之前讨论的自然数不满足这些规则 。那么新事物(负整数)是从哪里来的呢?
答案有点令人失望 。他们不是来自任何地方,他们就在那里 。在数学中,我们不能创造物体,我们只能描述它们 。这些数字(自然数、整数、实数)的存在是因为我们定义了描述它们的规则,而这些规则描述的东西彼此兼容 。
对于这一切,有一句时髦的说法:整数就是所有的数字,包括零、正数和负数 。
同样,如果你定义了自然数的加法,加法逆规则就足以使加法也适用于整数 。而且,由于自然数的乘法只是重复加法,因此乘法也适用于整数 。
作者带你从数的基础开始一段美妙的数学之旅,首先探索了整数、自然数、有理数、余数、零、黄金比例、虚数、罗马数字等一些有趣又奇怪的数、埃及分数和连续分数,带你领略数字的乐趣、数字的美和数字的用途,进而深入学习现代逻辑,包括线性逻辑、语言等,以及进步现代集合论和现代机械化计算的悖论,带你感受数学的逻辑和计算 。
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