什么是自然数什么是整数( 二 ) _自然数

2.2自然构造一个整数
我们可以自然地创建数学结构来表示整数。这些结构称为整数模型。但为什么可能呢？另外，模型到底是什么？

文章插图
在一个新事物（例如整数）的模型中，我们试图证明有某种方法可以使对象遵守我们定义的公理。为此，您可以选择您已经知道的东西并将它们用作“构建块” 。使用这些块，您可以构建新的东西并使其服从新系统的公理。例如，当谈到整数时，我们将把我们已经熟悉的自然数作为积木，并使用这些积木来构建可以表示整数的东西。如果我们能证明这个模型中的事物遵循自然数公理，那么我们就知道我们对整数的定义在数学上是兼容的。
我们为什么要这样做？
我们建立这样一个模型有两个原因：首先，证明我们的公理的模型是有意义的。当我们编写公理集时，很容易搞砸并意外地以不一致的方式编写我们的模型。证明我们没有搞砸的模型。我们可以编写一堆看似合理的公理，但它们可能存在一些微妙的不兼容。如果是这样，那么即使在抽象的数学世界中，我们定义的事物也不存在。更糟糕的是，如果我们在这样的公理假设下工作，我们得到的每一个结论都是毫无价值的。如前所述，整数存在的原因是我们定义了整数，并且这些定义在数学上是兼容的。如果我们不能证明可以构造模型，那么就不能保证定义在数学上是兼容的。
第二个原因不如第一个抽象：模型让我们更容易理解，它描述了我们构建的系统应该如何工作。
在我们提到模型之前的最后一句话，重要的是要理解我们所做的是给出一个整数模型，而不是这个整数的模型！我们现在所做的是描述一种表示整数的可能方式，这不是我们将在下面展示它们的方式。因为整数可以有多种表示方式，只要这些方式满足公理，就可以使用。模型和它所建模的事物之间的区别是微妙的，但它非常重要。整数是由公理描述的东西，不是由我们的模型构建的，它们只是表示它们的一种方式。
表示整数的最简单方法是使用一对有序自然数 (a,b) 。一对自然数 (a, b) 表示一个整数 (a-b) 。显然，(2,3), (3,4), (18,19) 和 (23413,23414)) 都代表同一个数。从数学的角度来看换句话说，整数是由这些自然数对的等价类组成的。
但什么是等价类？
当我们做诸如构建整数模型之类的事情时，通常我们以一种不会为每个整数创建事物的方式来定义事物。我们所做的就是定义一个模型，对于模型中的每一个事物，模型中都有一个可以描述事物的集合，并且集合中的值都是等价的。这组等价值称为等价类。
在我们定义的整数模型中，整数的特征是构造一对自然数。两个对数 (a,b) 和 (b,c) 是等价的：如果它们的第一个和第二个元素等距且朝向相同的方向。例如 (4,7）和 (6,9）。在数轴上，为了从 4 到 7，你必须向右走 3 步。为了从 6 走到 9，你仍然不能不向右走 3 步。所以，它们属于同一个等价类。但是，当你看 (4,7）和 (9,6），从 4 到 7，你必须向右走 3 步；从 9 到 6，你必须向左走 3 步。所以它们不属于同一个等价类。
上述表示为我们提供了一种简单的方法来理解如何将自然数的各种数学运算应用于整数。我们理解了自然数加法的含义，所以我们可以定义整数的加法。
如果这里整数模型中有两个对象，将它们定义为一对自然数：M=(m1,m2）和 N=(n1,n2）。它们的加法和减法运算定义如下：
■ M+N = (m1+n1,m2+n2）.
■ M-N = (m1+n2,m2+n1）.
■ 一个数 N =(n1,n2) 的加法逆表示为 -N，即反转自然数对的顺序后的对： -N = (n2,n

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