一文解读素数及素数公式原理素数是什么数 _素数定理

自欧几里得以来，素数的分布规律一直是个谜。今天，让我们来了解一下素数的重要分布规律——素数定理。这是迄今为止限制素数分布的最重要和经过验证的定理之一。

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欧几里得
大约在公元前 300 年，欧几里得漂亮地证明了有无数的素数，从此人们开始寻找素数的公式。
伟大的数学家欧拉在给丹尼尔伯努利的信中写道：“计算素数的公式在我们的有生之年可能找不到。不过，我还是想用一个公式来表达，但并不是所有的素数都可以表达。n^2-n+41，n 等于 1 到 40" 。
当 n=41 时，欧拉给出的多项式无效。后来哥德巴赫给欧拉的信中提到：“一个整数系数多项式不可能得到所有整数的素数，但有些多项式可以得到很多素数。”
后来，欧拉漂亮地证明了哥德巴赫猜想。欧拉对数论的贡献是巨大的。数论的四大定理之一是欧拉定理，欧拉的素数乘积公式是开黎曼。猜猜金钥匙。
【一文解读素数及素数公式原理素数是什么数】

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欧拉和欧拉积
在欧拉之后，素数的研究直到高斯才取得进展。1792年左右，15岁的高斯发现自然数中素数的分布密度接近于一个类似于对数积分的函数。

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同一时期的数学家勒让德（AM）也提出了等价猜想，但未能证明。到目前为止，这个问题已经成为数学界的头号问题，甚至在数学界流传：如果有人证明了这个猜想，那么他将拥有永生。

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为我作见证的人将获得永生！
直到一百多年后的 1896 年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达玛和德拉瓦勒布桑独立证明。他们的证明都是基于黎曼的思想，并且使用了先进的全函数理论，到目前为止，这个猜想已经正式升级为定理——素数定理（PNT）。

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素数定理
值得一提的是，其中一个活到了96岁，另一个活到了98岁。
素数定理还有一个基本表达式：

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素数定理基本表达式

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这个定理可以得出许多有趣的结论，例如：
N是素数的概率~1/lnN；
第N个素数～NlnN；
这两个推论和PNT是互为充要条件的。
虽然我们有 PNT，但是 PNT 给出的绝对误差真的很可怕，比如第 10000 个素数，而 PNT 给出了 92103，这是数学家无法接受的，我们想要的是一个准确的素数公式。
直到 1859 年黎曼才给出 π(x) 的精确表达式：

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素数计数函数 π(x) 的黎曼表达式
然而，表达式是基于一个猜想，即著名的黎曼猜想，这仍然是数学界有待解决的重要猜想。更多关于黎曼猜想的有趣事实，可以阅读我之前的文章《如果这个数学猜想被破解，世界网络将瘫痪！——黎曼猜想》
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