有理数有无数个
无理数也有无数个
那谁更多?还是一样多?
无穷与无穷,是否可以比出谁多谁少?
数轴上的点对应有理数或无理数?
那有理数和无理数又是如何在数轴上分布?
NO.1如何比较无穷
当我们比较有限的数量时,只要比较具体的数字谁大即可 。鸡有两条腿,兔有四条腿,所以兔子腿更多 。有理数有无数个,无理数也有无数个,或许我们可以认为是都是无数个,都是数不完的,那就一样多呗,但实际上无限也可以分出大小,因为比较有限数量的方法并不能用于无穷的情况 。
如何比较无穷?
![有理数和无理数?有理数和无理数概念](http://img.gansulong.com/220829/04295aG8-0.jpg)
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所有的正数和负数一样多 。
在正数集里任取一个正数,在负数集合里都能找到唯一确定的一个负数与其相对应,比如正数集中取1,负数集里会有-1,正数集里取π,负数集里会有-π,有一个正数,就会有一个相应的负数 。
我们可以在正数集和负数集间建立一种一一对应的关系 。所以正数与负数是一样多 。
同样的道理,我们可以得出奇数和偶数是一样多的 。
任取一个奇数2n-1,都会有一个偶数2n与其相对应,同样我们可以在奇数集和偶数集之间建立这种一一对应的关系,所以奇数和偶数也是一样多的 。
我们把集合里元素的数量称为集合的基数,比如集合{1}的基数为1,集合{1,2}的基数为2 。
判断无穷集合基数相等的方法便是:能够两个集合之间建立起一种一一对应的关系 。
NO.2整体可以等于部分
如果关于无穷的比较都像上面那么简单就好了,接下来我们继续看 。
所有的偶数和所有的整数一样多 。
What?偶数不是和奇数一样多吗?奇数和偶数一起构成了整数,偶数怎么和整数也一样多了?
整数集合里任取一整数n,在偶数集合里都会有一个数2n与其相对应,所以我们依然可以在整数集和偶数集之间建立起一一对应的关系,在偶数集里任取一个偶数,在整数集里都会有一个唯一确定的元素与其相对应 。
整体等于部分!这是我们在有限里不可能存在的情况,但在无穷集合里,却真真实实地发生了 。
如果对于数没感觉我们再来看个图形的例子,在△ABC中,假定BC边为2,DE是BC边所对的中位线,所以DE=1,在BC边上任取点M,连接AM,则AM必与DE有一交点,记为N 。任取一个M点都会有一个N点与其相对应 。
这说明:长度为2的线段上的点与长度为1的线段上的点是一样多的!!!
格奥尔格·康托尔甚至以此作为无穷集合的定义:如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应的关系,它就是无穷集合 。
![有理数和无理数?有理数和无理数概念](http://img.gansulong.com/220829/04295a091-1.jpg)
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了解了无穷这一性质,那我们得出这么一个结论:自然数、偶数、整数都是一样多的 。或许你会质疑既然他们都无穷,那就数量都一样呗,还需要讨论这么多嘛?
需要,之所以说这几个集合基数相等,是因为它们还有一个共同的特点:可数 。
所谓可数,可以理解为能够找到一种规则把所有的数列出来,然后就可以按着这个顺序一直数下去 。
比如自然数,0,1,2,3,4,5……,比如偶数,0,2-2,4-4,6-6……而只要能全部列出来,就可以建立一一对应的关系,依次按顺序对应就好了,甚至都不用弄明白具体的规则是什么,所以只要是可数无穷,就可以说集合里元素数量是一样多的 。
![有理数和无理数?有理数和无理数概念](http://img.gansulong.com/220829/0429593219-2.jpg)
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