有理数和无理数？有理数和无理数概念( 二 ) _有理数

NO.3有理数可数吗？
可数
有理数可以表示为q/p的形式，取正有理数部分，我们可以按p+q的值由小到大来列出所有正有理数，具体的顺序可以参照下图。
按上述规则，可列出所有正有理数，负有理数亦可以列出来。
所以有理数集也是可数集。
补充一下可数集概念：能与自然数集建立一一对应关系的集合。
可数集的基数是最小的无穷量，康托尔把这个量记为?0（希伯来文，读作“阿列夫零”）。同时康托尔指出，阿列夫零是最小的无穷量，那比阿列夫零更大的无穷在哪呢？
NO.4上场吧！无理数
无理数可数吗？或者说实数可数吗？
答案是：NO
康托尔运用对角线法来论证这一点，证明过程很短，却堪称精妙绝伦！（妈妈问我为何跪下看书系列）
考虑整个实数集是否可数，我们先考虑0-1之间的所有实数是否可数。假设存在某种规则能够列出0-1之间的所有实数：
0.……
0.……
0.……
0.……
0.……
0.……
……
以上的数随便写的，此时康托尔问，0.……在什么位置？
这个数是怎么取的呢？取第一个数的第一位小数加1，取第二个数的第二位小数加1，取第三个数的第三位小数加1，取第四个数的第四位小数加1……，也就是上面数中红色的数字加1 。
假如0.……在第n个位置上，则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1 。
简单说，这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1 。显然这是不可能存在的！
所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来，当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。
像这样的无穷称为不可数无穷，不管你承认还是不承认，同样是无穷，也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。
在数轴上任取一段线段，由这些连续着的点构成的集合均为不可数集，又称连续统。基数记为c 。
NO.5 c=?1
既然已经明确了有理数代表着可数无穷，而无理数则代表着不可数无穷，那可数与不可数到底谁更多呢？换句话说，?0与c谁更大呢？
事实上，从概率的角度来看，在数轴上任取一点，取到有理数的概率为0 。
无理数是无限不循环小数，有理数包含整数、有限小数和无限循环小数，我们可以把整数和有限小数看成后面的小数位均为0的数，举个例子，1.8=1.……，后面的小数位都是0 。
现在我们给一个数填充小数位，有无数个小数位需要我们填充，而填充的数字都是随机取的，所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0 。借助于这样一个想法，无理数不仅比有理数多，而且多得多！
怎么样能够比无穷还要多？
对于集合{1}，它有两个子集：空集、{1}，子集组成的集合的基数为2^1；对于集合{1,2}，它有四个子集空集、{1}、{2}、{1，2}，子集组成的集合的基数为2^2，以此类推，若一个集合的基础为n，则其子集构成的幂集基数是2^n 。
那如果原集合的基数是?0呢？
事实上，康托尔已经证明出，c=2^?0，这里的?0是无穷大的，所以能想象c有多大吗？
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