x至x的函式为当然函式 。可视範畴为广义化了的幺半群；一些和幺半群有关的定义和定理也可能可以义广化成範畴的定义和定理 。4. 任一有向图都会产生一个小範畴：其物件为图的顶点，态射为图中的路径，而态射複合则为路径的串接 。这被称之为由图产生出的“自由範畴” 。5.若I是一个集合，“在
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上的具体範畴”会是个小範畴，其物件为的元素，而态射则只有单位态射 。当然，其态射複合的公理是必然满足的 。6.任一範畴
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皆可以另一种方式被视为是一个新的範畴：其物件和原範畴的一样，但态射则和原範畴相反 。这被称之为对偶範畴，标记为
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。7.若
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和
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为範畴，可形成一“积範畴”
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：其物件为由
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和
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内的物件所组成的对，且态射亦为由
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和
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内的态射所组成的对 。这些对的态射複合是由各元素各自複合 。範畴类型1.在许多範畴中，例如阿贝尔群範畴或向量空间範畴，态射集合
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不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的複合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即複合映射是双线性的 。这种範畴称为预可加範畴 。如果在此基础上这个範畴还带有所有有限积和上积，那幺我们称之为可加範畴 。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那幺我们称之为阿贝尔範畴 。阿贝尔範畴的典型例子是阿贝尔群的範畴 。2.範畴是完备的当其拥有所有极限 。集合、阿贝尔群、拓扑空间的範畴都是完备的 。3.範畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定 。笛卡尔闭範畴包括
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和
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，即完全偏序和斯科特连续函式组成的範畴 。4.拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭範畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合範畴的语言形式化一般） 。拓扑斯也可用于表示逻辑理论 。
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