拉普拉斯变换 _生活百科

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拉普拉斯变换【拉普拉斯变换】拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函式转换为一个参数为複数s的函式。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的套用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
基本介绍中文名：拉普拉斯变换
外文名：Laplace Transform
别称：拉氏变换
提出者：拉普拉斯
提出时间：约1812年
套用学科：数学、工程数学
适用领域範围：解微分、积分方程，偏微分方程
适用领域範围：信号系统、电子工程、轨道交通、自动化等
公式概念拉普拉斯变换的公式拉普拉斯变换是对于t>=0函式值不为零的连续时间函式x(t)通过关係式

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(式中-st为自然对数底e的指数)变换为复变数s的函式X(s) 。它也是时间函式x(t)的“复频域”表示方式。电路分析实例据此，在“电路分析”中，元件的伏安关係可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV 。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那幺就可用“分压公式”得出该系统的传递函式为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))，于是回响的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函式H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)如果定义：f(t)是一个关于t的函式，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变数；

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是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。则 f(t)的拉普拉斯变换由下列式子给出：

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。拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换是已知F(s) 求解 f(t) 的过程。用符号

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表示。拉普拉斯逆变换的公式是：对于所有的t>0，f(t)= mathcal ^ left=frac int_ ^ F(s)' e'ds，c' 是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s)' 的个别点的实部值。意义与作用为简化计算而建立的实变数函式和复变数函式间的一种函式变换。对一个实变数函式作拉普拉斯变换，并在複数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可採用传递函式代替微分方程来描述系统的特性。这就为採用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。用 f(t)表示实变数t的一个函式，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变数s=σ+j&owega；的一个函式，其中σ和&owega; 均为实变数，j2=-1 。F(s)和f(t)间的关係由下面定义的积分所确定：