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空集空集是指不含任何元素的集合 。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 。空集不是无;它是内部没有元素的集合 。
【空集】可以将集合想像成一个装有元素的袋子,而空集的袋子是空的,但袋子本身确实是存在的 。
基本介绍中文名:空集
外文名:empty set
基本释义:不含任何元素的集合
符号:?
归属学科:数学
所属:集合论
Latex表示:\varnothing
定义空集是指不含任何元素的集合 。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 。表示方法用符号?或者{ }表示 。注意:{?}是有一个?元素的集合,而不是空集 。在LaTeX中空集表示代码 \emptyset。0是一个数,不是集合 。{0}是一个集合,集合只有0这个元素 。?是一个集合,但是不含任何元素 。{?}是一个非空集合,集合只有空集这个元素 。空集举例当两圆相离时,它们的公共点所组成的集合就是空集;当一元二次方程的根的判别式值△<0时,它的实数根所组成的集合也是空集 。性质对任意集合 A,空集是 A 的子集:?A:? ? A;对任意集合 A,空集和 A 的并集为 A:?A:A ∪ ? = A;对任意非空集合 A,空集是 A的真子集:?A,,,若A≠?,则? 真包含于 A 。对任意集合 A,空集和 A 的交集为空集:?A,A ∩ ? = ?;对任意集合 A,空集和 A 的笛卡尔积为空集:?A,A × ? = ?;空集的唯一子集是空集本身:?A,若 A ? ? ? A,则 A= ?;?A,若A= ?,则A ? ? ? A 。空集的元素个数(即它的势)为零;特别的,空集是有限的:| ? | = 0;对于全集,空集的补集为全集:CU?=U 。集合论中,若两个集合有相同的元素,则它们相等 。那幺,所有的空集都是相等的,即空集是唯一的 。考虑到空集是实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集 。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集 。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集 。另外,因为所有的有限集合是紧緻的,所以空集是紧緻集合,。空集的闭包是空集 。公理集合论在诸如策梅罗-弗兰克尔集合论的公理集合论中,空集的存在性是由空集公理确定的 。空集的唯一性由外延公理得出 。使用分离公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理 。例如:若 A 是集合,则分离公理允许构造集合
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,它就可以被定义为空集 。空集和零根据定义,空集有 0 个元素,或者称其势为 0 。然而,这两者的关係可能更进一步:在标準的自然数的集合论定义中,0 被定义为空集 。实数0与空集是两个不同的概念,不能把0或{0}与?混为一谈 。範畴论若A为集合,则恰好存在从{ }到A的函式f,即空函式 。结果,空集是集合和函式的範畴的唯一初始对象 。空集只能通过一种方式转变为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的範畴的唯一初始对象 。空集是任何非空集合的真子集 。?只有一个子集,没有真子集 。{?}有两个子集,一个是?一个是它本身定义:不含任何元素的集合称为空集 。空集是任何集合的子集,但把空集说成是任何集合的真子集就不确切 。关于补集,补集的概念是相对而言的,集合A在不同的全集中的补集是不同的,所以在描述补集概念时,一定要注明 。集合A中子集B的补集或余集记为CAB,简单的说集合A的补集是没有意义的 。属于符号“∈ ”、不属于符号“?”,它们只能用在元素与集合符号之间;包含于(被包含)符号“? ”、包含符号“?”,它们只能用在两个集合符号之间 。如,{0}是含有一个元素的集合,?是不含任何元素的集合,因此,有??{0},不能写成?={0} 或?∈{0} 。