三等分角 _生活百科

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三等分角【三等分角】三等分角是古希腊三大几何问题之一。三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解。该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分。
基本介绍中文名：三等分角
外文名：Angle trisection
提出者：托勒密一世
提出时间：公元前4世纪
学科：数学
来源：古希腊三大几何问题之一
发展史纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个已知角既是这幺容易，很自然地会把问题略变一下：三等分怎幺样呢？这样，这一个问题就这幺非常自然地出现了。问题提出公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭藉优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了着名的亚历山大图书馆，藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请着名学者到亚历山大城，当时许多着名的希腊数学家都来到了这个城市。亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？问题解答已知南门位置为P，卧室（圆心）为O，设北门位置为Q，桥为K，要确定北门的和桥的位置，关键是做出∠OQK，设OP和OK的夹角是α

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三等分角由 QK=QO，得 ∠QKO=∠QOK在△OKP中，∠OKP=180°-α-∠KPO所以∠QKO=α+∠KPO，又因为OP=OQ所以∠OQK=∠OPK在△QKO中，∠QKO+∠QOK+∠OQK=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO=3∠KPO+2α=180°即∠KPO=（180°-2α）/3 = ∠QOK只要能把180°-2α这个角三等分，就能够确定出桥和北门的位置了。解决问题的关键是如何三等分一个角。但是不存在能三等分任意给定角的纯尺规方法。问题发展工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。正当大家称讚阿基米德了不起时，阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。”阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记，等于是做了刻度，这在尺规作图法中则是不允许的。这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角，这个问题连阿基米德都没有解答出来。定义为了阐述尺规作图的可能性的充要条件，首先需要把几何问题转换成代数的语言。一个平面作图问题，前提总是给了一些平面图形，例如，点、直线、角、圆等，但是直线是由二点决定的，一个角可由其顶点和每边上取一点共三点决定的，圆由圆心和圆周的一点决定，所以平面几何作图问题总可以归结为给定n个点即n个複数