三等分角( 二 ) _生活百科

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(当然还有z0=1) 。尺规作图过程也可以看作利用圆规和直尺不断得到新的複数，所以问题就变成为：给了一批覆数

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和z0，能否从

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出发利用尺规得到预先希望得到的複数Z 。为讨论方便给出如下递归定义：定义：设S={Z0=1，Z1，... Zn}是n+1个複数，将(1) Z0=1，Z1，... Zn叫做S-点；(2) 过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆；(3) 由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那幺P也就是从S={Z0=1，Z1，... Zn}出发通过尺规作图所得到的全部複数。定理证明定理：设Z1，... Zn(n≥0)为n个複数。设F= Q(Z1，... Zn，Z1'，... Zn')，(Z'代表共轭複数)，那幺，一个複数Z可由S={Z0=1，Z1，... Zn}作出的充要条件是 Z属于F(u1，... un) 。其中u12属于F, ui2 属于F(u1，... ui-1) 。换言之，Z含于F的一个2次根号扩张。系：设S={Z0=1，Z1，... Zn}，F= Q(Z1，... Zn，Z1'，... Zn')，Z为S-点，则 [ F(z) ：F] 是2的方幂。以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：证明：所谓给了60度角，相当于给了複数Z1=1/2+√3/2 i 。从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3) 。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0 。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q]由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而20度不可能三等分。证毕