什么是本原多项式？本原多项式的应用( 二 ) _本原多项式

当F是复数域C时，根据代数基本定理，可以证明C[x]中的不可约多项式都是线性的。因此，每一个复系数多项式都可以分解成之一个因子的乘积。
当f是实数域R时，R[x]中的不可约多项式是线性的或二次的，因为实系数多项式的虚根成对出现，即虚根的共轭数仍然是根。因此，每一个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充要条件是其判别式b2-4αс0 。
当f是有理数域q时，情况就复杂多了。很难判断有理系数多项式是否不可约。利用本原多项式理论，有理系数多项式的分解问题可以转化为整系数多项式的分解问题。如果整系数多项式的系数互质，则称为本原。每个有理系数多项式都可以表示为一个有理数和一个本原多项式的乘积。本原多项式具有以下重要性质。
多项式算法
加法和乘法
有限个单项式的和称为多元多项式，或简称为多项式。由不同种类的单项式之和表示的多项式，其中非零系数的单项式的更高次数称为多项式的次数。
多项式加法是指多项式中相似项的系数相加，字母不变(即相似项合并) 。多项式乘法是将一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘，然后合并相似项。
*** F[x1，x2，…，xn]，由F上的所有多项式组成，是一个有单位元的环，用于多项式的加法和乘法。
域上的多元多项式也有因式分解的唯一性定理。
带余除法
若(x)和g(x)是F[x]和g(x)≠0中的两个多项式，则F[x]中存在唯一多项式q(x)和r(x)，满足(x) = q (x) g(x)+r(x) 。此时q(x)称为g(x)除以x的商，r(x)称为余数。当g(x)=x-α时，则R (x) = (α)称为余数，其中α是f的元素，此时带余数的除法具有(x) = q (x) (x-α)+(α)的形式，称为余数定理。G(x)是(x)的因子当且仅当除以g(x)得到的余数等于零。若g(x)是(x)的因子，也称g(x)可被(x)整除或(x)可被g(x)整除。特别地，x-α是(x)的一个因子当且仅当(α) = 0，则称α是(x)的一个根。
如果d(x)既是(x)的因子又是g(x)的因子，那么d(x)是(x)和g(x)的公因数。如果d(x)是(x)和g(x)的公因数，且(x)和g(x)的任意因数是d(x)的因数，则d(x)是(x)和g(x)的更大公因数。如果(x) = 0，那么g(x)就是(x)和g(x)的更大公因式。当(x)和g(x)不为零时，可以通过除法求出它们的更大公因式。
带余除法
已知一元多项式环F[x] [1]中的两个多项式(x)和g (x)不等于零。将(x)除以g(x)得到商q1(x)和余数r1(x) 。如果r1(x)=0，那么g(x)就是(x)和g(x)的更大公因式。如果r1(x)≠0，用g(x)除以r1(x)得到商q2(x)和余数r2(x) 。如果r2(x)=0，r1是(x)和g(x)的更大公因式。否则余数继续减少，有限次后余数为零(零多项式)或零(零多项式) 。如果最后一个余数产生一个零度多项式，那么f(x)和g(x)互质；如果最后的余数结果是一个零的多项式，f(x)和g(x)的更大公因数就是最后一个带余数的除法。
(x)和g(x)的更大公因式rs(x)可以用除法算法表示为(x)和g(x)的组合，组合系数是f上的多项式。
如果(x)和g(x)的更大公因式是零次多项式，那么(x)和g(x)称为互质。更大公因式和互质的概念可以推广到几个多项式的情况。
如果F[x]中一个次数不小于1的多项式(x)不能表示为F[x]中两个次数较低的多项式的乘积，则称(x)是F上的不可约多项式。
任何多项式都可以分解成不可约多项式的乘积。
多项式应用
函数和根
多项式f∈R[x1，...，xn]和R-代数a .对于(a1...an)∈An，我们把F中的xj换成aj，得到A中的一个元素，记为f(a1...安) 。这样，f可以看作是从An到a的函数。
如果f(a1...an)=0，(a1...an)称为f的根或零点。