数学三大危机第一次危机是什么数学三大危机数学历史三大危机 _三大

在数学的发展史上，大大小小的矛盾出现过很多，但很少能威胁到整个数学基础理论，甚至引起危机。即便是千百年来人们对欧几里得几何公理第五公设的疑惑，也不曾造成数学上的危机，且最终成就了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。数学史上共出现三次数学危机，每次都是由于悖论的发现而深刻和广泛的影响了数学基础，引发了数学上的思想解放，从而推动了数学的发展。
三次数学危机涉及到连续性与离散性以及无穷等数学上的一些根本性问题。
1 无理数与芝诺悖论1.1 出现
毕达哥拉斯认为“一切数均可表示成整数或整数之比”，也就是说，一切数均可用有理数表示。
希帕索斯（Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右）发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边（即2的2次方根）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示。
芝诺悖论也挑战了毕达哥拉斯学派所一直贯彻的度量和计算方式。
不可公度性的发现和芝诺悖论引起了希腊数学的危机。
1.2 影响
1.2.1 由于古希腊人不能掌握无理数概念，限制了算术和代数，使得数学研究转向几何（用几何的方法来处理不可公度比）。
1.2.2 古希腊人在解决危机的过程中，把数和量区分开来，分而治之的策略使得算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展。
1.2.3 经过数学危机的洗礼，古希腊人认识到：直觉、经验是不可靠的，推理论证才是可靠的。这种转变导致了公理几何学与逻辑学的诞生。
1.3 解决
德国数学家戴德金（Dedekind，1831-1916）在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术的定义。
“戴德金分割”认为，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。

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约在公元前370年，柏拉图的学生攸多克萨斯(Eudoxus，约公元前408—前355)纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。
在几何学中引进不可通约量概念，两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。
很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。
2 微积分和无穷小2.1 出现
十七世纪牛顿、莱布尼兹分别独立创立了微积分理论，两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的（在无穷小是0还是非0的问题上纠缠不清）。
英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：

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2.2 解决
法国数学家柯西（1789-1857）用极限的方法定义了无穷小量。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量。
德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)建立了实数系，创建了精确的ε-δ语言（用来精确描述极限）。
建立数学分析（或者说微积分）的基础的“逻辑顺序”应该是：实数理论→极限理论→微积分。
而“历史顺序”正相反。
3 集合论与罗素悖论3.1 出现
到19世纪，数学从各方面走向成熟。
非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；
实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；
群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。
人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？
正在这时，19世纪末，集合论出现了。康托尔创立了著名的集合论（集合三个特点：确定性、互异性、无序性）。
人们感觉到集合论有可能成为整个数学的基础。其理由是：
算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。
同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是“以整数、分数等组成的集合”；微积分的对象可说成是“以函数等组成的集合” 。
几何的对象可以说成是“以点、线、面等组成的集合” 。这样一来，都是以集合为对象了，集合成为了更基础的概念。

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