斯托克斯眉头一皱，发现彩虹并不简单 _函数

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书接上回。正如《彩虹也能“生”出小彩虹》的前半部分讲述的那样，乔治·加布里埃尔·斯托克斯（）提出了一种近似艾里函数的有效方法，这有助于理解彩虹的附属虹。然而，尽管斯托克斯已经解决了实际问题，但他并不满意。他对艾里函数的近似是渐进的，这意味着它只适用于变量x取足够大正值或足够小负值的情况。在x=0处这一近似会发散到无穷大。
这本身并不是问题所在，渐进近似对于处理附属虹的目的来说已经足够好了。困扰斯托克斯的问题是，他的近似分成了两部分，分别由截然不同的两个数学表达式表示。下图展示了艾里函数（蓝线）和斯托克斯的近似值（红线），以及近似函数的两个数学表达式（斯托克斯近似是一个无穷级数，给出的表达式只考虑了级数的第一项）。
蓝色曲线是实际的艾里函数，红色曲线是斯托克斯的渐进近似。下方公式给出了每一段近似的数学描述。图源豪斯
如你所见，x>0部分的表达式包含一个指数函数项，而x正弦函数。如果了解这些函数，你就能发现问题所在。红色曲线在x=0的右侧从无穷大向下迅速衰减到零，这正是负指数函数的性质。而在x=0的左侧，红色曲线按照正弦函数的性质上下振荡。
将正弦写成指数函数和,令:
那么正弦函数可以被写成：
现在事实证明，正弦函数可以被表示成两个指数函数的和。因此，斯托克斯的方案在x>0时有一个指数函数，而在x在变量由负到正时使一个指数函数消失，而在由正到负时产生一个指数函数”，豪斯说。
升高维度
现在很明显，事情在x=0这一点变得很混乱。这里是一个奇点，两部分近似都在这里发散到无穷大。事实上任何事情都可能在无穷大的地方发生，指数函数可能会消失也可能会产生，所以或许这种现象并不那么令人惊讶。
然而斯托克斯做了一个当时看来具有革命性的操作。他把自己的近似看成了一个复数变量的函数。如果不知道什么是复数，你可以把这理解成升高一个维度。所有实数合在一起形成一条线，实变量函数将每个实数（也就是直线上的一个点）映射为另一个实数。复数可以用来代表二维平面上的一个点。复变量函数将一个复数（也就是平面上的点）映射为另一个复数。实数在复数中的表示就是平面内的一条直线，因此复数可以看作实数的扩充，复变函数可以看作实变函数的扩充。（这里是复数的介绍）
下图展示了所谓的复平面以及其中的实轴。复变函数将平面上的一个点作为输入，再给出平面上另一个点作为输出。我们没办法画出这样一个函数的图形，因为这需要四个维度，两个维度用于输入，两个维度用于输出。
复平面及其中水平的实轴。从实轴的正半轴过渡到负半轴并不需要经过零点，而是可以沿着蓝色半圆给出的路径。
一旦开始在复平面上考虑问题，而不仅仅局限于实轴的话，就有不止一条路径可以从实轴的正半轴过渡到负半轴。我们可以沿着上图中的蓝色半圆或者其他路径绕开x=0的点，从而避免奇点的问题。可是，在这个过程中，指数项在哪里又是如何产生的呢？
跃变的系数
在斯托克斯首次发表艾里函数近似方法的几年以后，他发现了这个问题的一部分答案。这里的数学十分复杂，所以我们只给出梗概。从本质上讲，斯托克斯在处理一个关于复变量z的函数的渐进近似，其中包含两个指数项，每一项都乘以一个系数和一个发散级数。换句话说，他在处理一个看起来像这样的东西：
如果这两个系数是收敛的，那么对于复平面内所有的z，系数A和B可以相等。这意味着，只要A和B都不为0，这个近似就永远有两个指数项。但当级数发散的时候，就有更多的可能性。斯托克斯意识到，在这种情况下，系数的数值可以发生跃变。具体而言，一个系数可以在平面的一侧等于零，这意味着此处整个渐进近似只包含一个指数项；在平面的另一部分，系数不再等于零，这一区域内渐进近似是两个指数项的和——这正是艾里函数的行为。