斯托克斯眉头一皱，发现彩虹并不简单( 二 ) _函数

渐进近似中系数的值发生跃变的行为被称为斯托克斯现象（ ' ）。
（事实上，斯托克斯发现这里的系数不仅是“可以发生”跃变，而是“必须”跃变。渐进近似必须严格满足的一个条件是，如果从正实轴的z值开始，沿一个完整环路绕零点一圈再回到z，那么得到的近似值也应该与最开始的值相等。斯托克斯注意到实现这一点的唯一方法是系数发生跃变。这是因为近似表达式中含有复变量的平方根，而这个平方根是多值的——点击这里了解更多）
斯托克斯线
在确定系数必须在复平面的某个位置发生跃变以后，斯托克斯开始研究这些跃变发生的位置。他发现，如果分开考虑表达式：
中的两项，考察它们在变量z绕零点环绕一周时的行为，就会发现两个指数项会轮流取比较大和比较小的绝对值。当一项很大时，另一项就会很小，反之亦然。（这与指数函数的指数的实部是正或负有关。）
系数值的跃变不能影响渐进近似作为一个整体需要满足的数学——如果系数从零到非零的变化会导致一个指数项的出现，那么这应该发生在最不显眼的地方。正因为如此，斯托克斯认为，只能是较小的系数在系数较大项的函数值取最大处发生了跃变。
【斯托克斯眉头一皱，发现彩虹并不简单】“斯托克斯说的是，当系数较大的一项处在它函数值最大的位置时，另一项会开始起作用，”豪斯解释说，“就数值近似而言，如果你想添加一些东西，最好的时机是系数较大的一项处在它最大的位置，而你要添加的东西恰好最小。”
对于艾里函数，斯托克斯发现，将较小的指数添加进来而对渐进近似函数整体影响最小的位置是在下图给出的线上，这些线被称作斯托克斯线，它们与正实轴的夹角按逆时针依次为120°和240° 。
从正实轴开始，逆时针绕零点一周。最开始渐进近似只有一个很小的指数函数，这个指数函数一直在增长，直到120°的斯托克斯线处达到最大，此时另一个很小的指数函数被加入并开始增长，到达负实轴时两个指数项都对整个近似有贡献。在240°处的第二条斯托克斯线，一个指数函数又被关闭。
“当你从正实轴开始绕零点运动时，在正实轴上衰减的指数函数开始增长，”豪斯解释说，“到达120°斯托克斯线时，它已经变得很大了，”他说，“如果在斯托克斯线处加入另一个很小的指数，那么等运动到负实轴时，两个指数函数大小相当，刚好可以组合成负实轴应有的正弦函数。”