计算几何、凸集、平面、超平面、凸函数、凸规划讲解 _凸函数

计算几何、凸集、平面、超平面、凸函数、凸规划讲解二、凸集三、三维空间的平面以及跟高维度的超平面四、凸函数五、凸规划
一、计算几何 1、计算几何简介
计算几何是一门兴起于二十世纪七十年代末的计算机科学的一个分支，主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
2、计算几何是研究什么的?
计算几何研究的对象是几何图形。早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系，把图形转换成函数，然后用插值和逼近的数学方法，特别是用样条函数作为工具来分析图形，取得了可喜的成功。然而，这些方法过多地依赖于坐标系的选取，缺乏几何不变性，特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时，有一定的局限性。
计算几何问题的输入一般是关于一组几何对象的描述，如一组点、一组线段，或者一个多边形的按逆时针顺序排列的一组顶点。输出常常是对有关这些对象的问题的回答，如是否直线相交，是否为一个新的几何对象，如顶点集合的凸包。
3、相关问题描述
计算几何理论中过两点的一条直线的表达式，是如何描述的？
假设有两个不相同的，且为n维空间的两个点
所以过两个点的直线方程：
二、凸集 1、凸集的定义
在凸几何中，凸集( set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。
集合C被称为凸集，如果C中任意两点间的线段仍然在C中，即对任意x1,x2∈C满足0 < θ≤1
的θ都有
也就是说，凸集中的每一个点都可以被沿着它们之间一条无阻碍的路看见，那么这个集合就是凸集。
2、直线是凸集吗？
在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。（例如：在二维中有扇面、圆、椭圆等，在三维中有实心球体等；多数情况下，两个凸集的交集也是凸集，空集也是凸集）
性质：一个集合是凸集，当且仅当集合中任意两点的联系全部包含在该集合内。
证明向量空间是否为凸集的方法为，假设X,Y在空间中，则有任意 a(0≦a≦1)使得aX+(1-a)Y属于向量空间。
所以直线是凸集！
3、直线是仿射集吗？
1.什么是防射集
仿射集亦称仿射流形、线性流形、仿射簇，是实线性空间中的一类子集。非空间射集 M 的维数定义为上述子空间 L 的维数。空集的维数定义为-1 。维数分别为0、1，以及2的仿射集为点、直线和平面。?的n次方中n-1维点仿射集称为超平面。
2.直线是仿射集吗？

文章插图
一个集合C是仿射集，若对任意的x1,x2∈C且θ∈R,，则连接x1,x2的直线也在这个集合内。
如直线是一个仿射集，线段不是仿射集，二维空间是一个仿射集，二维空间中一个正方形不是仿射集。
三、三维空间的平面以及跟高维度的超平面 1、三维空间中的一个平面，如何表达？
三维空间中的平面由两个量确定：
① 一个法向量（垂直于该平面的向量）
② 一个已知点（位于该平面上的一个点）
下面给出在已知平面的法向量n和平面上一个已知点P的情况下，平面的方程
2、超平面定义及表达