计算几何、凸集、平面、超平面、凸函数、凸规划讲解( 二 ) _凸函数

1.超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，也就是必须是(n-1)维度。
这是平面中的直线、空间中的平面之推广（n大于3才被称为“超”平面），是纯粹的数学概念，不是现实的物理概念。因为是子空间，所以超平面一定经过原点。
2.如何表达超平面
n 维空间中的超平面由下面的方程确定:
其中，w 和 x 都是 n 维列向量，x 为平面上的点，w 为平面上的法向量，决定了超平面的方向，b 是一个实数，代表超平面到原点的距离。且
w 是法向量，b 表示平面到原点的距离。
详细解释可以参考下面链接：参考链接
四、凸函数 1、凸函数的定义
另外还有一种严格凸函数：
用函数图像表示：
一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方
2、矩阵
1.矩阵简介
黑塞矩阵（），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家 Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。
2.定义与性质
3、如何判别一个函数是凸函数
判断一个函数是否为凸函数，最基本的方法是使用其定义。
①对于一元函数f(x)f(x)，我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即f′′(x)≥0f″(x)≥0，则f(x)f(x)是凸函数
②对于多元函数f(X)f(X)，我们可以通过其矩阵（矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果矩阵是半正定矩阵，则是f(X)f(X)凸函数
4、f(x)=x^3 是凸函数吗？
根据上面一元函数的判定方法来进行判定。
因为函数为y=x^3，求一次导： y’=3x^2
再次求导：y’’=6x，可以发现函数的二阶导数总是非负的，所以可以证明为凸函数。
五、凸规划 1、什么是凸规划
若最优化问题的目标函数为凸函数，不等式约束函数也为凸函数，等式约束函数是仿射的，则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集，因而凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。当凸规划的目标函数为严格凸函数时，若存在最优解，则这个最优解一定是唯一的最优解。
2、如何判别一个规划问题是凸规划问题？
从上面的什么是凸规划可以得出，凸规划有三个限制条件：
①目标函数为凸函数
②不等式约束函数也为凸函数
③等式约束函数是仿射的
3、验证下列（MP）是凸规划
本人的推算结果如下：
通过上面的推算可以得知该问题为凸规划！
参考文献
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【计算几何、凸集、平面、超平面、凸函数、凸规划讲解】本次学习到这里就结束啦，当然这次只是非常简单的学习了这些知识，在后续学习中药深入了解才行！希望可以帮助大家理解这方面的知识。