如果把接下来要讲的事情写成一个故事,故事主角——一个17岁的高中生——和他父亲的对话应该是这样的:
主角:爸爸,我要去解决一个数学难题,它将近30年没人解决了 。
爸爸:啥?这个问题啊…… 孩子,听我说,数学会教你做人的……
【弱弱地问:我一个17岁的高中生,想解决世界难题怎么办?】主角:你们做不出来,不代表我做不出来!我还有机会,我会全力以赴的!
然后,在博览群书半个月后,这个难题被这个少年解决了……
这不是某个“民科”的自我臆想,也不是某个爽文小说里的场景,而是最近在数学界发生的真实新闻 。
丹尼尔·拉尔森( ),在他17岁,还没有任何高等教育经历的时候,解决了一个27年没有解决的数论的世界难题——卡尔迈克数满足伯特兰假定 。名词都看不懂?别急我们会介绍这个问题,高中级别数学水平的人,应该能看懂问题本身 。
费马小定理、卡尔迈克数和伯兰特假定
对于正整数p和a,如果p和a互质,p还是质数且的话,那么 a^p - a (x^y表示x的y次方,下文同)一定是p的倍数,这就是费马小定理 。但是反过来,哪怕对于所有和p互质的a,都满足 a^p - a是p的倍数这个条件,并不一定能得到p一定是质数,就是说p有可能是合数 。那么这些合数就叫做卡尔迈克数 。最小的卡尔迈克数的例子就是561 。
这个原始定义要验证起来比较麻烦 。1899年,数学家柯瑟尔特(Alwin )提出了一种判定卡迈克尔数的等价办法:一个合数n是否是卡尔迈克数,等价于n同时满足下面两个条件:
1、n的质因数分解中,每个质因数只出现1次 。
2、对于n的每个质因数p,n - 1都是 p - 1 的倍数 。
比如前面的561,它分解后是3×11×17 。三个质因数只出现了1次 。n - 1 是560,对应的三个p - 1是 2、10、16。560分别是这三个数的倍数,所以561是卡尔麦克数 。所以由这个办法,你可以很容易判定561, 1105, 1729, 2465这四个数是卡尔迈克数 。
文章插图
自561被发现是卡尔迈克数后,越来越多的卡尔迈克数被发现 。人们问卡尔迈克数是否是无穷多个 。这个问题却异常的难,到1994年才被阿尔福德(Red )、格兰维尔( ),波梅兰斯(Carl )三位数学家解决,论文发表在数学界最顶级的期刊《数学年刊》上 。三位数学家的论文其实证明了这样一个命题:当n足够大的时候,小于n的卡尔迈克数至少有n^(2/7)个 。
但是,这篇论文没办法给出卡尔迈克数更细致的分布,作者们在论文中提问:是否有这样的命题成立:当n充分大的时候,n和2n之间都至少存在一个卡尔麦克数 。——这就是伯兰特假定 。名称来源于数论中一个著名的定理,伯兰特定理:对所有正整数n,n和2n之间都存在一个质数 。
然后,丹尼尔·拉尔森在17岁读高中的时候解决了这个问题 。
兴趣起点
丹尼尔·拉尔森对数论研究始于数年前的传奇事件 。2013年,58岁张益唐发表了一篇惊人的论文,这篇论让人们对孪生质数猜想的研究推进一大步——张益唐证明了有无穷多对质数,它们之差不超过7000万 。后来,数论大咖陶哲轩组织了一大票人一起合作优化张益唐的结果,又促使数论研究前进了一大步 。其中,其佼佼者就是梅纳德,他用新方法对这个问题提供了更精妙的证明 。传奇的故事,加上大牛们的参与,一时间这成为了整个数学界热点事件 。
丹尼尔·拉尔森显然被这个热点事件影响到了 。他决定去了解这方法的工作,尤其是优化后的梅纳德和陶哲轩的工作 。但是,这些论文太难了,也非常复杂 。数学论文总是这样,我要阐述一个定理,会引用很多之前的已经做好的结论 。但是,当你翻开这些这些引用的参考文献的时候,你发现,这些参考文献又引用了更多的前置结论——然后不断引用,大量套娃 。
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