弱弱地问：我一个17岁的高中生，想解决世界难题怎么办？ _数学

如果把接下来要讲的事情写成一个故事，故事主角——一个17岁的高中生——和他父亲的对话应该是这样的：
主角：爸爸，我要去解决一个数学难题，它将近30年没人解决了。
爸爸：啥？这个问题啊…… 孩子，听我说，数学会教你做人的……
【弱弱地问：我一个17岁的高中生，想解决世界难题怎么办？】主角：你们做不出来，不代表我做不出来！我还有机会，我会全力以赴的！
然后，在博览群书半个月后，这个难题被这个少年解决了……
这不是某个“民科”的自我臆想，也不是某个爽文小说里的场景，而是最近在数学界发生的真实新闻。
丹尼尔·拉尔森( )，在他17岁，还没有任何高等教育经历的时候，解决了一个27年没有解决的数论的世界难题——卡尔迈克数满足伯特兰假定。名词都看不懂？别急我们会介绍这个问题，高中级别数学水平的人，应该能看懂问题本身。
费马小定理、卡尔迈克数和伯兰特假定
对于正整数p和a，如果p和a互质，p还是质数且的话，那么 a^p - a (x^y表示x的y次方，下文同)一定是p的倍数，这就是费马小定理。但是反过来，哪怕对于所有和p互质的a，都满足 a^p - a是p的倍数这个条件，并不一定能得到p一定是质数，就是说p有可能是合数。那么这些合数就叫做卡尔迈克数。最小的卡尔迈克数的例子就是561 。
这个原始定义要验证起来比较麻烦。1899年，数学家柯瑟尔特(Alwin )提出了一种判定卡迈克尔数的等价办法：一个合数n是否是卡尔迈克数，等价于n同时满足下面两个条件：
1、n的质因数分解中，每个质因数只出现1次。
2、对于n的每个质因数p，n - 1都是 p - 1 的倍数。
比如前面的561，它分解后是3×11×17 。三个质因数只出现了1次。n - 1 是560，对应的三个p - 1是 2、10、16。560分别是这三个数的倍数，所以561是卡尔麦克数。所以由这个办法，你可以很容易判定561, 1105, 1729, 2465这四个数是卡尔迈克数。

文章插图
自561被发现是卡尔迈克数后，越来越多的卡尔迈克数被发现。人们问卡尔迈克数是否是无穷多个。这个问题却异常的难，到1994年才被阿尔福德(Red )、格兰维尔( )，波梅兰斯(Carl )三位数学家解决，论文发表在数学界最顶级的期刊《数学年刊》上。三位数学家的论文其实证明了这样一个命题：当n足够大的时候，小于n的卡尔迈克数至少有n^(2/7)个。
但是，这篇论文没办法给出卡尔迈克数更细致的分布，作者们在论文中提问：是否有这样的命题成立：当n充分大的时候，n和2n之间都至少存在一个卡尔麦克数。——这就是伯兰特假定。名称来源于数论中一个著名的定理，伯兰特定理：对所有正整数n，n和2n之间都存在一个质数。
然后，丹尼尔·拉尔森在17岁读高中的时候解决了这个问题。
兴趣起点
丹尼尔·拉尔森对数论研究始于数年前的传奇事件。2013年，58岁张益唐发表了一篇惊人的论文，这篇论让人们对孪生质数猜想的研究推进一大步——张益唐证明了有无穷多对质数，它们之差不超过7000万。后来，数论大咖陶哲轩组织了一大票人一起合作优化张益唐的结果，又促使数论研究前进了一大步。其中，其佼佼者就是梅纳德，他用新方法对这个问题提供了更精妙的证明。传奇的故事，加上大牛们的参与，一时间这成为了整个数学界热点事件。
丹尼尔·拉尔森显然被这个热点事件影响到了。他决定去了解这方法的工作，尤其是优化后的梅纳德和陶哲轩的工作。但是，这些论文太难了，也非常复杂。数学论文总是这样，我要阐述一个定理，会引用很多之前的已经做好的结论。但是，当你翻开这些这些引用的参考文献的时候，你发现，这些参考文献又引用了更多的前置结论——然后不断引用，大量套娃。