算法设计方法4：动态规划经典例题总结 _动态规划

问题描述：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1) 。每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]，请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.
看完题目，我们按照上面提到的“动态规划五部曲”解决问题
1、判题题意是否为找出一个问题的最优解
看到字眼是“可能的最大乘积是多少”，判断是求最优解问题，可以用动态规划解决；
2、从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
题目中举了个例子：当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18；我们可以从这里开始突破，把长度为8绳子的最大乘积分解为数个子问题，长度为8我们可以把它看成长度为1和7的绳子的和，或者长度为2和6的绳子的和，或者长度为3和5的绳子的和and so on!
到这里，相信大家已经看到一丝真理了吧？
3. 从下往上分析问题，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
在第二点时，我们已经从上到下分析问题了，现在我们要从下往上分析问题了。分析可知，
f(8) 的值就是f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)它们之中的最大值，即f(8) = Max{f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)}
只要知道f(1)到f(7)的值就能求出f(8)；对于f(7)，只要知道f(1)到f(6)的值就能求出f(6)；对于f(6)，只要知道f(1)到f(5)的值就能求出f(6)；以此类推，我们只要知道前几个边界的值，就能一步步迭代出后续的结果!
状态转移方程： f(n)=Max{f(n-i)*f(i)} i={1,2,3,…,n/2}
4. 讨论底层的边界问题
底层的边界问题说的就是最小的前几个数值的f(n)的值，本题中就是f(0)、f(1)、f(2)、f(3)的值
对于f(0)，长度为0的绳子，没办法剪，没有意义
对于f(1)，长度为1的绳子，没办法剪，设为1
对于f(2)，长度为2的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1的绳子，但剪后的乘积为1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话就没必要剪。
对于f(3)，长度为3的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1和2的绳子，但剪后的乘积为2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话也没必要剪。
Java代码：
二、青蛙跳台阶
问题描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。
1、判题题意是否为找出一个问题的最优解
本质上dp算法是一种高效的枚举算法，只不过有时我们的问题是找出所有可能枚举值中满足某个最优条件的那个状态，所有很多没有经过系统的运筹学数学知识培养的同学会把dp纯粹当成了优化问题的算法。许多非优化问题，比如需要枚举出所有可能结果的问题，dp是非常适用的。
2、从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
题目中没有给粟子，我们可以自己举点粟子。例如，跳上一个6级台阶台阶，有多少种跳法；由于青蛙一次可以跳两阶，也可以跳一阶，所以我们可以分成两个情况
1、青蛙最后一次跳了两阶，问题变成了“跳上一个4级台阶台阶，有多少种跳法”
2、青蛙最后一次跳了一阶，问题变成了“跳上一个5级台阶台阶，有多少种跳法”
由上可得f(6) = f(5) + f(4);
由此类推，f(4)=f(3) +f(2)
3.、从下往上分析问题，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
跟上面的例题一相同，可以由f(1)逐渐迭代上去
由2可得，状态转移方程为：f(n)=f(n-1)+f(n-2)