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一阶函数是最早学习的函数知识内容之一 。它的形象是一条直线 。学好一阶函数,首先要掌握一维线性方程组、二元线性方程组、二元线性方程组等相关知识内容 。从某种意义上说,直线方程的概念本质上是直线与方程的一一对应 。
进入高中后,数学课本继续安排线性相关的知识内容学习,知识的深度和广度都在增加 。一方面,学生可以感受到学无止境的学习精神,进一步加强对函数的思考,学会用数字和形状的组合等数学思想解决问题;另一方面,这也是解析几何用方程(代数)研究直线(几何)的基础 。
在高中数学中,我们更关注直线方程的概念 。与对一个函数的解释相比,这更加抽象,进一步挑战了学生的思维能力,同时也加强了学生思维视角和思维方法的培养 。这些都是数学综合素质的体现 。
很多与直线相关的知识内容似乎都属于“死记硬背”,比如直线的倾角和斜率的概念、公式等等,只要你肯花有时间背一下,就可以记住了,但是这些知识能不能用来正确解决问题,那就另当别论了 。
因此,对于任何数学知识,我们不仅要记住,还要学会理解知识的本质,这样我们的思维才能得到锻炼 。
就像学习直线的倾角、斜率和直线方程的知识内容一样,首先要把概念分析清楚,把概念牢记在心 。
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直线的倾斜度是多少?
1、定义:x轴正方向与直线向上所成的夹角称为直线倾斜角 。当直线与x轴平行或重合时,其倾斜角定义为0° 。
2、倾斜角的范围是[0, π) 。
直线的斜率是多少?
1、定义:直线的倾角α的切线称为直线的斜率 。斜率通常用小写字母k表示,即k=tan_α 。倾斜角为 90° 的直线没有斜率 。
2、通过两点的直线的斜率公式:
通过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)(x1≠x2))的直线斜率公式为k=( y2-y1)/(x2-x1)=(y1-y2)(x1-x2).
记住这些概念并不难,但深入理解它们并不难 。例如,在计算直线方程时,要注意判断直线的斜率是否存在 。每条直线都有一个倾角,但不一定每条直线都存在 。坡度 。
从坡度求倾角,要注意倾角的范围;另一种是考虑正切函数的单调性 。用截距公式写方程时,首先要判断截距是否为0,如果不确定,需要分门别类讨论 。
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典型案例分析1:
已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R) 。
(1)证明:直线l经过不动点;
(2)如果直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)如果直线l在A点与x轴的负半轴相交,在B点与y轴的正半轴相交,则O为原点坐标,设△AOB的面积为S,求此时S的最小值和直线l的方程 。
解:(1)证明:方法一:直线l的方程可以转化为y=k(x+2)+1,
因此,无论k的值是多少,直线l总是经过不动点(-2,1).
方法2:设置通过不动点的直线(x0, y0),则kx0-y0+1+2k=0对于任意k∈R都是常数,即(x0+2)k-y0+1=0 是常数,
∴x0+2=0,-y0+1=0,
解x0=-2,y0=1,所以直线l总是经过不动点(-2,1) 。
(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,
为了使直线l不通过第四象限,
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在求解直线方程的综合问题时,除了灵活选择方程的形式外,还应注意标题中的隐藏条件 。如果问题与最大值或范围有关,可以考虑构造一个目标函数进行变换,找到最大值 。
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