增乘开平方法 _生活百科

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增乘开平方法【增乘开平方法】增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方法，原收《释锁算书》
基本介绍中文名：增乘开平方法
发明者：贾宪
相关书籍：《释锁算书》等
被抄入卷：《永乐大典》
简介增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来。术文增乘开平方法，以商数乘下发递增求之。商第一位。上商得数以乘下发为乘方。命上商除实。上商得数以乘下发入乘方。一退为廉，下法再退。商第二位。商得数以乘下发为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三位商数。商第三位。用法如第二位求之语译算法初始把待开方数赋值给变数实。廉：0；下法：以100为底，不大于实的最大幕数（主要是为了把实以每2个数分为一组设定）商：0；计算步骤1：估商（x）,求最大的整数x（商）使得：(廉+x)*x <= 向下取整(实/下法)，0<=x<=9（估出的x（商）即为开方后当前位的数值，）步骤2：更新廉：新廉=廉+x步骤3：更新实：新实=实-廉*x，若新实为0则表明开方完毕。步骤4：再次更新廉：新廉=廉+x步骤5：更新廉与下法：新下法=下法/100（下法再退）新廉=廉*10（与术文有差异，因为古法用算筹，现在用笔算，廉向下退一位，但相对于下法其实是进一位）步骤6：以当前的下法，廉，实复上述步骤1~5，以求下一位的商，直到实=0或者达到要求的开方精度。贾宪十进位制布位算筹的布位。贾宪在纸上用书写方式将算筹码按十进位制布位。七万一千八百二十四分写两行

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贾宪十进位算筹布位下行的步、十、百、千、万分离出来变为算筹的位值标籤；上行七一八二四成为十进位制数码。然后将算筹码依次排在相应的位值标籤步、十、百、千、万之下：

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贾宪十进位制布位杨辉算草杨辉以七万一千八百二十四为例，列出详细算草。算草分四行，被除数放在第二行，称为实，第一行是商，第四行为下法，第三行是廉。将算筹放在第四行万字之下。

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贾宪增乘开平方动画

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初始

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杨辉算草计算（第一轮）经过步骤1，2，3后的算筹结果：1估计第一个商数得2，将安置在第一行百位置之上。2将上商2乘下法1，得数2，放在第三行廉。3跟新实，实-廉*商数*下法（算筹中廉数是乘下法后的数，所以不用再乘下法）7-2*2=3

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杨辉算草经过步骤4，5后的算筹结果：4跟新廉=2+2=45下法与廉下移退下法两位，退廉1位

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杨辉算草步骤6，进入第二轮计算商的下一位置，重複步骤1~5进过步骤1，21估商得62跟新廉：40+6=46

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杨辉算草步骤3，跟新实318-6*46=42