尺规作图( 三 ) _生活百科

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《几何原本》徐光启译本中的尺规作图问题由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。近代西方由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最着名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然藉助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了準则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是超越数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案。判定準则从坐标系观点看，所有的点和线都可以用坐标、方程的参量来代替，尺规作图能够完成两根线段的和差积商，因此可做图的数成为一个域。直线和圆都是二次方程，稍微细緻的讨论可知，尺规作图能够完成开平方，也就是域的二次扩张。因此，如果已知量与有理数生成的数域为

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,量

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可以尺规作图的充要条件是，存在域塔:

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其中相邻的域扩张都是二次的。换句话说，除了四则运算之外，只用到开平方的，可以尺规作图。但如果是开立方之类的情况，除了完全立方之类的特殊情况，一般不能尺规作图。当然，开四次方八次方，可以连续开平方，所以也是可以尺规作图的。影响几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批着名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关係.

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尺规作图