伯克霍夫遍历定理【伯克霍夫遍历定理】伯克霍夫遍历定理(Birkhoff ergodic theorem)是遍历论的第一个重要结果 。遍历理论是研究保测变换的渐近性态的数学分支 。它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、机率论、资讯理论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联繫 。
基本介绍中文名：伯克霍夫遍历定理
外文名：Birkhoff ergodic theorem
领域：数学
学科：遍历论
提出者：伯克霍夫
函式：可测函式
概念伯克霍夫遍历定理(Birkhoff ergodic theorem)是遍历论第一个重要结果 。设(X，A，μ，T)是一个保测系统(即T为保测变换)，一个可测函式f：X→R代表对系统的一种测量，{f(x)，f(Tx)，…}给出了轨道{x，Tx，…}的一种信息 。在统计力学、资讯理论中，一个重要问题就是f随时间的平均值的极限：
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是否存在 。伯克霍夫(G.D.Birkhoff)针对此问题证明了下述定理，即伯克霍夫遍历定理：设(X，A，μ)为机率空间，T：X→X为保测变换，则有如下结论：1.若f∈L1(X)，则：
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μ几乎处处存在 。2.若f∈L(X)，1≤p≤+∞，则：
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亦属于Lp(X)且：
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3.对任意f∈Lp(X)，有：
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遍历论遍历理论是研究保测变换的渐近性态的数学分支 。它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、机率论、资讯理论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联繫 。系统的一个状态在相空间中有一个代表点P=(p,q），系统的运动就对应于点 P在相空间中的运动 。如果系统是保守的，其总能量E便是常数，点P的运动就被限制在相空间中的等能面（称为能量面）H=E之上 。假如系统的自由度n非常大,例如在一定容器中气体分子的运动（巨观上微小的体积中仍含有大量的分子），如果与外界没有能量交换，就是一个保守的力学系统 。这时 n=3N，N是分子的数目 。因为人们无法去解如此巨大数目的哈密顿方程组，也无法实际地测得解方程时所必需的初始资料，所以不可能再用纯经典力学的方法来研究这样的系统 。其实，系统中大量分子运动的综合作用才决定出系统的巨观性质 。例如，气体的单个分子只是断续地冲撞容器壁，而大量分子冲撞的综合平均作用才形成了气体对器壁的稳定的压强 。为了研究这类本质上是统计性质的运动规律，人们构想同时考虑都是含有N个粒子，处于同一外部条件之中并且具有同一哈密顿量，但微观状态不一样的一切可能的系统 。这些系统在相空间中的代表点就不一样 。这些巨观条件一样的一切可能的微观系统的全体称为系综(ensemble） 。L.E.玻耳兹曼，特别是J.W.吉布斯建立了完整的统计系综方法，类比于流体力学中的刘维尔定理，证明了系综的机率分布守恆定理 。如果用φt(P）表示相点P 经过时间t之后在相空间中达到的点，那幺φt便是相空间的一个变换 。所谓机率守恆，就是说φt能使一定的机率测度保持不变 。如果某系综相应的机率分布不显含时间，就称做稳定系综 。统计力学基本假设之一是认为真实的平衡物理系统在某时刻的状态与其相应的稳定系综在相空间中的点有相同的机率 。可测函式可测函式是分析学中讨论得最广的函式类 。它有许多等价的定义方式，这里採用如下定义：设(Ω，F)为可测空间，f(x)是定义在Ω上的实值(或扩充实值)函式 。若对任意实数c，恆有{x|f(x)>c}∈F，则f(x)称为(Ω，F)中的可测函式或Ω上的F可测函式 。在这个定义中，条件f(x)>c可用f(x)≥c，f(x)<c，f(x)≤c中任一条件来替代 。当F为与特殊的测度相应的可测集类时，相应的可测函式可以冠以这些测度的名称 。例如说f(x)为波莱尔可测函式、勒贝格可测函式等 。f(x)在(Ω，F)上可测的充分必要条件是，对于直线上的任何波莱尔集M，f(M)是可测集，即f(M)∈F.勒贝格可测函式的概念是由勒贝格(H.L.Lebesgue)于1902年引入的，拉东(J.Radon)于1913年把它推广到一般的可测空间 。除一些涉及R中的特殊拓扑性质(如卢津定理)外，可测空间中的可测函式的性质与勒贝格可测函式的性质基本相同 。例如，可测函式类对于四则运算封闭，对于极限运算封闭，几乎处处收敛的可测函式列是近于一致收敛的，也即叶戈罗夫定理成立 。可测空间测度的定义域，测度论中的基本概念 。设F是基本空间Ω上的σ代数，称(Ω，F)为可测空间，而称F中的元素A是(Ω，F)中的可测集，也称为Ω中的F可测集，简称可测集 。例如，当F是R中的波莱尔集类B时，(R，B)称为波莱尔可测空间 。当F是R中的勒贝格可测集类L时，(R，L)称为勒贝格可测空间 。可测空间是测度的定义域，在一个可测空间上可以定义不止一种测度 。人物简介——伯克霍夫美国数学家 。生于普林斯顿，早年在哈佛大学和英国剑桥大学就读，1932年获哈佛大学学士学位，后获理学博士学位 。1936年起，任教于哈佛大学，1938—1941年，为助理教授，1941—1946年，为副教授，1946—1982年，任数学教授，1982年退休.美国全国科学院、美国艺术与科学学院院士 。1958年，任美国数学会副主席；1971—1972年，任美国数学协会副主席；1967—1968年，任美国工业与套用数学会主席 。伯克霍夫的工作涉及格论、近世代数、核反应堆理论的流体动力学、声学、偏微分方程的数值解，以及科学计算 。他曾和菲力普斯(Phillips，R.S.)定义了取值于局部凸拓扑线性空间的函式的积分.他在1940年出版的《格论》，经重新组织并增扩内容于1967年出版了第三版，除全面阐述了有关理论外，还介绍了格论在分析、集合论(包括拓扑和测度论)等方面的套用，还涉及了有序系统及二进制运算等 。他在把代数方法以及其他一些高水準的数学方法套用到别的科学领域方面有重要贡献，并因此曾于1978年获美国数学会G.D.伯克霍夫套用数学奖 。他一生髮表学术论文近200篇，着有《流体动力学》(1950)、《椭圆方程的数值解》(1971)、《近世代数概论》(1941，与麦克莱恩(MacLane，S.)合着)和《代数》(1967)等专着 。