数学术语有限单元法 _生活百科

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有限单元法(数学术语)【数学术语有限单元法】有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函式的插值点，将微分方程中的变数改写成由各变数或其导数的节点值与所选用的插值函式组成的线性表达式，藉助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。採用不同的权函式和插值函式形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早套用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
基本介绍中文名：有限单元法
起初用途：最早套用于结构力学
目前用途：流体力学的数值模拟
基础：变分原理和加权余量法
内容简述在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连线的单元，在每个单元内选择基函式，用单元基函式的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函式可以看为由每个单元基函式组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所採用的权函式和插值函式的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函式的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元格线的形状来划分，有三角形格线、四边形格线和多边形格线，从插值函式的精度来划分，又分为线性插值函式和高次插值函式等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函式，伽辽金(Galerkin)法是将权函式取为逼近函式中的基函式；最小二乘法是令权函式等于余量本身，而内积的极小值则为对代求係数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0 。插值函式一般由不同次幂的多项式组成，但也有採用三角函式或指数函式组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函式。有限元插值函式分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常採用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元套用的最早，近来四边形等参元的套用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常採用的插值函式为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函式及二阶或更高阶插值函式、面积坐标系中的线性插值函式、二阶或更高阶插值函式等。解题步骤建立积分方程根据变分原理或方程余量与权函式正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。区域单元剖分根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连线、不重叠的单元。区域单元划分是採用有限元方法的前期準备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关係之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。确定单元基函式根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函式作为单元基函式。有限元方法中的基函式是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函式时可遵循一定的法则。单元分析将各个单元中的求解函式用单元基函式的线性组合表达式进行逼近；再将近似函式代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定係数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。总体合成在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。边界条件的处理一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件) 。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。解有限元方程根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，採用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函式值。

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