最小二乘法( 二 ) _生活百科

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（式1-1）其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，套用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用计算值Yj（Yj=a0+a1Xi）（式1-1）的离差（Yi-Yj）的平方和

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最小为“最佳化判据” 。令：φ =

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（式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得：φ =

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（式1-3)当

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最小时，可用函式 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。∑2(a0 + a1*Xi - Yi）=0（式1-4)∑2Xi（a0 +a1*Xi - Yi）=0（式1-5)亦即：na0 + （∑Xi ) a1 = ∑Yi （式1-6)（∑Xi ) a0 + （∑Xi^2 ) a1 = ∑（Xi*Yi) （式1-7)得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = （∑Yi) / n - a1（∑Xi) / n （式1-8)a1 = [n∑(Xi Yi) - （∑Xi ∑Yi)] / (n∑Xi^2 -∑Xi∑Xi)（式1-9)这时把a0、a1代入（式1-1）中，此时的(式1-1）就是我们回归的一元线性方程即：数学模型。在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点（x1,y1. x2,y2...xm,ym），为了判断关联式的好坏，可藉助相关係数“R”，统计量“F”，剩余标準偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。R = [∑XiYi - m （∑Xi / m）（∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m （∑Xi / m)2][∑Yi2 - m （∑Yi / m)2]} （式1-10) *在（式1-10）中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别为任意一组实验数据X、Y的数值。方法以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什幺是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变数是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变数是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变数和一个因变数，且二者的关係可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变数，且因变数和自变数之间是线性关係，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面。对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函式儘可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。选择最佳拟合曲线的标準可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标準可以选择：（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即採用平方损失函式。样本回归模型：

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其中ei为样本（Xi,Yi）的误差。平方损失函式：