+PD>BD，可得PB+PC>AB+AC．证：（略）．点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB+AC化直为BD）．例2 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于，求此梯形的高．解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF=m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA=OD，OB=OC，AM=DM，BN=CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM=AD，2ON=BC．∵AD+BC=2EF=2m，∴2OM+2ON=2m．∴OM+ON=，所以梯形高MN=m．确定点的位置找最小值例1 AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点E，使得BE+DE最小 。解：作点B关于AC的对称点B′，连线DB′，交AC于点E，点E就是要找的点 。例2 如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小． 解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连线BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点 。例3 要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置 。
文章插图
例5与其它学科的结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分 。对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨 。一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥” 。太守再次路过此庙时，看到下联，连连称讚“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐 。可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现 。生活中的轴对称无处不在，只要你善于观察，将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受 。对称之后解方程求有关最小值问题，经常利用对称的思想转移点的位置，改变思维角度，再利用（直线）一次函式的解析式求得最小值点的坐标，真正体现出“数形结合”的数学思想 。
文章插图
例1 已知两点A（0，2），B（4，1），点P是x轴上的一点，且PA+PB的值最小，求点P的坐标 。分析：如图1，在坐标系中先标出点A、B的位置，在x轴上要确定一点