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方程回归【方程回归】方程回归是指根据样本资料通过回归分析所得到的反映一个变数（因变数）对另一个或一组变数（自变数）的回归关係的数学表达式 。回归直线方程用得比较多，可以用最小二乘法求回归直线方程中的a、b，从而得到回归直线方程 。
基本介绍中文名：方程回归
外文名：Equation regression
描述：回归分析
套用：回归直线方程
学科：数学
概念方程回归是对变数之间统计关係进行定量描述的一种数学表达方法 。指具有相关的随机变数和固定变数之间关係的方程 。回归直线方程指在一组具有相关关係的变数的数据（x与y）间，一条最好地反映x与y之间的关係直线 。离差作为表示Xi对应的回归直线纵坐标y与观察值Yi的差，其几何意义可用点与其在回归直线竖直方向上的投影间的距离来描述 。工程结构物的抛物面方程回归计算抛物面天线是一种定向微波天线，具有结构简单和方向性强等优点 。抛物面天线由反射面和辐射器(发射或接收器)组成，反射面的几何形状必须精确符合设计的抛物面方程，辐射器的中心必须精确位于抛物面的焦点上，即抛物面工程结构物需要有很高的施工安装精度，测设的物抛物面上点位坐标的理论值应按设计的抛物面方程计算 。而建成后的精度鉴定和变形监测则需要根据实测数据从总体上验证与设计数据的符合程度 。对此必须用高精度电子全站仪测定抛物面上的离散点位，套用坐标变换和回归计算的方法求得抛物面方程的参数和拟合的抛物面形体 。按照测量的一般原则，需要有大量的多余观测值 。因此，回归计算必须用最小二乘法求取计算成果的最或然值 。在此过程中，也可评定观测对象的精度和进行变形分析 。位于三维空间的离散点位必须经过坐标变换，才能量测其有关的数据和拟合其几何形体的标準数学模型 。因此，求得坐标变换的参数是关键性的 。测定离散点进行抛物面方程的回归计算需要经过下列步骤:抛物面口的平面方程回归、平面的法向量计算、坐标轴旋转、圆心拟合、坐标轴平移、标準状态下的抛物面方程回归、坐标轴平移和旋转(使抛物面形体与原始观测点拟合) 。由于存在大量的多余观测，在按最小二乘法的平差计算中需要计算改正值，用于粗差检测和精度评定 。
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图 1 任意坐标系中的抛物面位于任意坐标系中的抛物面如图1所示，其中抛物面口的点所构成的平面用虚线表示 。在抛物面上测定的点的三维坐标组成“观测点集“，是回归计算的原始数据 。抛物面口的平面方程回归计算按照在抛物面口上测定的m1个点拟合出的平面方程式为Ax+By+Cz+D=0(1)将式(1)同除以D可得A/Dx+B/Dy+D/Cz+1=0(2)令A/D=A1，B/D=B1，D/C=C1(3)则式(1)可改写为A1x+B1y+C1z+1=0(4)对于在同一平面上的点进行多余观测(观测点数m1>3)，则每个测定点的坐标观测值(xi，yi，zi)可列出其误差方程式如下：vi=A1xi+B1yi+C1zi+1，i=1，2，…，m1(5)设误差方程式係数与近似值及其改正值的关係为A1=A01+δAB1=B01+δBC1=A01+δC(6)则vi=(A01+δA)xi+(B01+δB)yi+(C01+δC)zi+1(7)vi=xiδA+yiδB+ziδC+(A01xi+B01yi+C01zi+1)(8)式中：δA，δB，δC为误差方程式中未知参数，式(8)右端括弧内数值为常数项li 。根据m1个平面观测点的误差方程式组成法方程式，可解得未知数δA，δB，δC，由此求得平面方程式(4)的係数A1，B1，C1 。计算实例抛物面回归计算的成果除了数据以外，还应该包括抛物面的图形绘製 。在CAD中用LISP语言编制应用程式，能理想地完成计算与绘图任务 。因为LISP语言具有完备的计算功能，可以完成上述各种计算，并能调用CAD绘图命令进行绘图 。但AutuCAD套用软体尚缺少直接绘製抛物面的命令，因此需要採用以下绘图步骤：从抛物面方程来看，当x=0时，z=ay2+b，说明抛物面与YOZ平面的相交线为一条抛物线；当y=0时，z=ax2+b，说明抛物面与XOZ平面的相交线为具有相同参数的抛物线 。因此，在XOZ平面或YOZ平面按抛物线方程绘製一定数量的等间距离散点，用样条曲线连线这些点绘製成抛物线，然后使其绕Z轴旋转而形成抛物面图形 。这个抛物面拟合于“中心标準状态点集”，如图2所示 。计算焦距f，并绘製焦点F 。然后用複製命令(copy)複製抛物面及其中心轴和焦点，再用坐标变换方法(平移和旋转)，将抛物面图形及其中心轴和焦点拟合于原始的“观测点集”，如图1所示，使观测对象在三维空间的实际位置可视化 。所有计算和绘图任务按本文所提供的数学公式和方法，编制LISP程式在CAD中实现，最后以档案形式提供回归计算的数据和图形成果 。用高精度的无协作目标电子全站仪NET1200对某抛物面天线进行测量，採用独立坐标系统观测了抛物面口上11个点和抛物面上29个点(共观测40点)的三维坐标 。先用抛物面口上11个点拟合出平面方程式;根据平面的法向量姿态(方位角和天顶距)进行坐标变换，使法向量与坐标轴的Z轴平行(抛物面口呈水平状态)，然后再根据这11个点在平面上拟合出抛物面口的圆心点坐标;将坐标原点平移至该圆心点;根据所观测的40个点，在标準状态下按抛物面进行回归计算，由此得到抛物面方程式：