牛顿旋转轨道定理( 三 ) _生活百科

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其中，

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分别为第一个粒子和第二个粒子的角速度。假设第一个粒子的路径表示为

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，则因为

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，第二个粒子的路径应该表示为

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。例如，令第一个粒子的椭圆路径为

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其中， A和B都是常数。那幺，第二个粒子的路径应为

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近圆形轨道极限在《自然哲学的数学原理》，第一册命题45里，牛顿套用他的旋转轨道定理髮展出一套新方法，能够寻找出主掌行星运动的作用力定律。克卜勒发觉大多数行星和月球的轨道似乎是椭圆形的，这些椭圆的长轴可以从天文测量数据中準确地计算出来。长轴定义为连线近拱点（离力中心点最近距离点）和远拱点（离力中心点最远距离点）的直线段。例如，水星轨道的长轴定义为连线其近日点和远日点的直线。经过一段时间，由于其它星体的引力微扰、吸引体的扁球形状（oblateness in the attracting body）、广义相对论效应和其它效应，大多数行星轨道的长轴会缓慢地旋转。这现象称为拱点进动，看起来好像整个轨道在缓慢地旋转。通常来说，行星每完成一个公转，长轴旋转的角度不多过几度，有时候会是相当微小。但是，只要等待足够长久时间，长轴旋转的角度可以很容易地被测量出来。牛顿的新方法就是套用这拱点进动来侦测行星感受到的是哪种作用力。月球轨道的进动使用精密的仪器，经过细心地勘测，可以準确地获得月球运动的数据。分析这些数据，天文学家发觉，月球的运动比其它行星的运动更为複杂。古希腊天文学家喜帕恰斯和托勒密注意到月球轨道有许多周期性的变化，像轨道离心率的小振动、轨道面与黄道面之间的轨道倾角的小规模振动。这些振动通常发生频率为每月一次或每月两次。拱点线缓慢地进动，周期大约为8.85年，而交点线（轨道面与黄道面的交集）旋转一周期需要大约双倍时间18.6年。这事实解释了蚀大约为18年的周期，称为沙罗周期。但是，这两条线的运动都会经历到月时间尺寸的小规模变动。

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图3.月球的运动1673年，杰雷米亚·霍罗克斯发表了一个相当準确的月亮运动模型，月亮被认为是依循着一条进动中的椭圆轨道公转。假若能够有一个足够準确又简单的预测月亮运动的方法，则计算船只位置的经度的航海问题应该可以迎刃而解。月球直径大约为30角分。在牛顿那年代，目标是预测月亮位置至误差不大于2角分，即地球经度的1度误差。霍罗克斯模型能够预测月亮位置至误差不大于10角分。推广于1687年，牛顿发表了他的定理，即《自然哲学的数学原理》，第一册命题43至命题45 。但是，如同天文物理学家学家钱德拉塞卡在他的1995年关于这本巨着的评论中指出，已经过了三个世纪，这理论仍旧鲜为人知，有待发展。于2000年，玛侯嵋与娃达共同发表了牛顿旋转轨道定理的第一个推广。他们假设第二个粒子的角运动是第一个粒子的k倍。但是，与牛顿不同，他们不要求两个粒子的径向运动相同，而是要求两个径向运动的关係式为