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与本徵值
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分别为
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其中，
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是正值的整数，h是普朗克常数，m是粒子质量 。导引一维不含时薛丁格方程可以表达为
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其中，
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是复值的、不含时间的波函式，V(x)是跟位置有关的位势，E是正值的能量 。在阱内，位势V(x)=0 。一维不含时薛丁格方程约化为
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这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程 。一般解本徵函式
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与本徵值E是
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其中，A与B是常数，可以是复值，k是实值的波数（因为E是正值的，所以，k必须是实数 。） 。为了求得一般解
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的常数A，B，与波数k的值，必须具体表明这问题的边界条件 。由于粒子趋向于位势低的地区，位势越高，找到粒子的机率
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越小 。在x=0 ，x=L两个阱壁位置，位势无限的高，找到粒子的机率是微乎其微：
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。所以，边界条件是
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代入方程 (3a)。在x=0，可以得到
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在x=L，可以得到
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方程 (6) 的一个简易解是A=0 。可是，这样，波函式是
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。这意味着一个不可能的物理答案：粒子不在阱内 。所以，不能接受这简易解 。设定
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，则
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。那幺，必须要求
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其中，整数n>0 。注意到n=0状况必须被排除，因为，不能容许波函式是
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的物理答案：粒子不在阱内 。为了求得A值，波函式需要归一化，一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方：
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常数A的值为
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常数A可以是任何複数，只要绝对值等于{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{L}}}}；可是，这些不同值的A都对应于同样的物理状态 。所以，为了方便计算，选择{\displaystyle A={\sqrt {\frac {2}{L}}}} 。最后，将方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b)。一维无限深方形阱问题的能量本徵方程与能量本徵值（能级）是
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