蒙特卡罗方法及应用 _积分

概括
提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法
基本思想
通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：
所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟随机的过程
例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程
中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向
科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据
所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数
【蒙特卡罗方法及应用】比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值
通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解
这种方法多用于求解复杂的多维积分问题
应用随机投点法
这个方法也常常被用来求 ππ 值，现在用它来求函数的定积分
如下图所示，有一个函数f(x)f(x)，若要求它从 a 到 b 的定积分，其实就是求曲线下方的面积
这时可以用一个比较容易算得面积的矩型罩在函数的积分区间上（假设其面积为）
然后随机地向这个矩形框里面投点，其中落在函数f(x)f(x) 下方的点为绿色，其它点为红色
然后统计绿色点的数量占所有点（红色+绿色）数量的比例为 rr
那么就可以据此估算出函数f(x)f(x) 从 a 到 b 的定积分为× r
注意由蒙特卡洛法得出的值并不是一个精确值，而是一个近似值
而且当投点的数量越来越大时，这个近似值也越接近真实值
平均值法
当在[a,b]之间随机取一点x时，它对应的函数值就是f(x)

文章插图
接下来就可以用f(x)?(b?a)来粗略估计曲线下方的面积，也就是需要求的积分值
当然这种估计（或近似）是非常粗略的,如下图所示：
所以，在[a,b]之间随机取一系列点xi时（xi 满足均匀分布）
把估算出来的面积取平均来作为积分估计的一个更好的近似值
如果这样的采样点越来越多，那么对于这个积分的估计也就越来越接近
进行四次随机采样（满足均匀分布）如下：
对于更一般的情况，假设要计算的积分如下：
取N趋于无穷大，则有：
就可以认为：