统计学-点估计和区间估计 _估计

点估计和区间估计点估计矩估计法
正态分布是一种统计量，目的是描述总体的某一性质。而矩则是描述这些样本值的分布情况，无论几阶矩，无外乎是描述整体的疏密情况。K阶矩分为原点矩和中心矩：
前者是绝对的：1阶就是平均值；2阶则是平方的平均值；3阶是立方的平均值，如此类推。
后者是相对于平均值而言：1阶即期望；2阶即方差的估计；如此类推。原点矩
μ k ′ = E ( Y k ) {μ}'_{k}=E(Y^k) μk′?=E(Yk) ?(k=1，2，…)
中心矩
μ k = E [ ( Y ? μ ) k ] μ_k=E[(Y-μ)^k] μk?=E[(Y?μ)k]
k表示阶数
原点矩方法
对于总体：原点矩- E ( Y k ) E(Y^k) E(Yk)
对于样本： m k = ∑ i = 1 n y i k n m_k=\frac{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{k}}{n} mk?=n∑i=1n?yik??
Y:观测值
举例：
y 1 , y 2 , y 3 , . . . y n y_1,y_2,y_3,...y_n y1?,y2?,y3?,...yn?代表一个随机样本的n个观测值，随机变量Y代表总体的分布，随机变量Y中有 θ 1 , θ 2 , θ 3 , . . . θ k θ_1,θ_2,θ_3,...θ_k θ1?,θ2?,θ3?,...θk?k个参数，矩估计需要估计出k个参数 θ ^ 1 , θ ^ 2 , θ ^ 3 , . . . θ ^ k \hat{θ}_1,\hat{θ}_2,\hat{θ}_3,...\hat{θ}_k θ^1?,θ^2?,θ^3?,...θ^k?
θ ^ \hat{θ} θ^:E ( Y ) = 1 n ∑ y i E(Y)=\frac{1}{n}\sum y_i E(Y)=n1?∑yi?
θ ^ 2 \hat{θ}_2 θ^2?:E ( Y 2 ) = 1 n ∑ y i 2 E(Y^2)=\frac{1}{n}\sum {y_i}^2 E(Y2)=n1?∑yi?2
一个参数使用一个方程，若K个参数则使用K个方程。求总体的平均值只有一个参数，使用一个方程就可。
假设：总体的期望为μ
则有E(Y)=μ
假设只有一个参数
此时使用矩估计的方法，只有一个参数，即使用一个方程：
Y的一阶原点矩 μ 1 ′ = E ( Y 1 ) {μ}'_{1}=E(Y^1) μ1′?=E(Y1)既他的期望本身 μ 1 ′ = E ( Y 1 ) {μ}'_{1}=E(Y^1) μ1′?=E(Y1)=μ
样本的一阶原点矩，既样本求和： μ = 1 n ∑ y i μ=\frac{1}{n}\sum y_i μ=n1?∑yi?
这时发现公式似乎很眼熟：
x ˉ = 1 n ∑ y i \bar{x}=\frac{1}{n}\sum y_i xˉ=n1?∑yi?
平均值不就是这么来的么。
当有两个参数时呢
可以设置第二个参数 E ( Y 2 ) = 1 n ∑ y i 2 E(Y^2)=\frac{1}{n}\sum {y_i}^2 E(Y2)=n1?∑yi?2
然后结合第一个式子用两个方程求解。
中心矩方法
其他参考上文
对于样本公式：∑ ( y i ? y ˉ ) k n \frac{\sum (y_i-\bar{y})^k}{n} n∑(yi??yˉ?)k?
其他方法

文章插图
最大似然法/极大似然法，最小二乘法，刀切法，稳健估计，Bayes方法
区间估计
区间估计是一个区间，区间分别由Lower和Upper构成–>(Lower,Upper)称为置信区间，其中包含着被估计参数的概率称为置信水平/置信系数[概率]
如置信水平为95%，那么这个区间也叫95%置信区间。
虚轴法
假设有一个估计量 θ ^ \hat{θ} θ^，E ( θ ^ ) E(\hat{θ}) E(θ^)=θ,即 θ ^ \hat{θ} θ^的期望=θ，θ为要估计的参数。
Z = θ ^ ? θ σ θ ^ Z=\frac{\hat{θ}-θ}{\sigma _{\hat{θ}}} Z=σθ^?θ^?θ?
假设Z符合正态分布，整个正态分布图的面积为1，
阴影部分的面积为0.05，非阴影部分的面积则为1-0.05=0.95
可以将面接还原成概率，整体的概率为100%，那么Z落在非阴影区域的概率便为95% 。
Z–>( ? Z α / 2 -Z_{\alpha/2} ?Zα/2?, Z α / 2 Z_{\alpha/2} Zα/2?)即( ? Z α / 2 -Z_{\alpha/2} ?Zα/2?≤Z≤ Z α / 2 Z_{\alpha/2} Zα/2?)
在分布中，阴影部分的面积为α，空白区域即为1-α，分布的两翼阴影面积各为α/2，所以有Z=1-α：可推出如下公式。
【统计学-点估计和区间估计】LCL= θ ^ ? z α 2 σ θ ^ \hat{θ}-z\frac{\alpha}{2}\sigma _{\hat{θ}} θ^?z2α?σθ^?UCL= θ ^ + z α 2 σ θ ^ \hat{θ}+z\frac{\alpha}{2}\sigma _{\hat{θ}} θ^+z2α?σθ^?