数学史上三次危机分别是,数学史上第三次数学危机( 三 )


但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义 , 因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的 。
第二次数学危机发生在十七世纪 。
十七世纪团局微积分诞生后 , 由于推敲微积分的理论基础问题 , 数学界出现混乱局面 , 即第二次数学危机 。
其实我翻了一下有关数学史的资料 , 微积分的雏形早在古希腊时期就形成了 , 阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素 , 直到2100年后 , 牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分 。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中 , 第一步用了无穷小量作分母进行除法 , 当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零 , 去掉那些包含它的项 , 从而得到所要的公式 , 在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的 , 但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.焦点是:无穷小量是零还是非零?如果是零 , 怎么能用它做除数?如果不是零 , 又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?
直到19世纪 , 柯西详细而有系统地发展了极限理论 。

数学史上三次危机分别是,数学史上第三次数学危机

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柯西认为把无穷小量作为确定的量 , 即使是零 , 都说不过去 , 它会与极限的定义发生矛盾 。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量 , 因此本质上它是变量 , 而且是以零为极限的量 , 至此柯西澄清了前人的无穷小的概念 , 另外创立了 极限理论 , 加上实数理论 ,  *** 论的建立 , 从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来 , 第二次数学危机基本解决 。
而我自己的理解是一个无穷小量 , 是不是零要看它是运动的还是静止的 , 如果是静止的 , 我们当然认为它可以看为零;如果是运动的 , 比如说1/n , 我们说  , 但n个1/n相乘就为1 , 这就不是无穷小量了 , 当我们遇到 等情况时 , 我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限 , 也可以用展式展开后 , 一阶一阶的比 , 我们总会在有限阶比出大小 。
第三次数学危机发生在1902年 , 罗素悖论的产生震撼了整个数学界 , 号称天衣无缝 , 绝对正确的数学出现了自相矛盾 。
我从很早以前就读过塌颤让“理发师悖论” , 就是一位理发师给不给自己理发的人理发 。
那么理发师该不该给自己理发呢?还有大家熟悉的“说谎者悖论” , 其大体内容是:一个克里特人说:“所有克里特人说的每一句话都是谎话 。
”试问这句话是真还是假?从数学上来说 , 这就是罗素悖论的一个具体例子 。
罗素在该悖论中所定义的 *** R , 被几乎所有 *** 论研究者都认为是在朴素 *** 论中可以合法存在的 ***。
事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是 ***  , 若R含有自身作为元素 , 就有R R , 那么从 *** 的角度就有R R 。
一个 *** 真包含它自己 , 这样的 *** 显然是不存在的 。
因为既要R有异于R的元素 , 又要R与R是相同的 , 这显然是不可能的 。
因此 , 任何 *** 都必须遵循R R的基本原则 ,  否则就是不合法的 ***。