什么叫体积？体积公式及测量( 二 ) _圆锥体

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圆锥的体积是底面积的三分之一乘以高，体积公式为：

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你是怎么得到这个公式的？在小学的时候，给出了一种特别好的思维方式。他们制作了一个底部面积和高度相同的圆柱形容器和一个锥形容器，将锥形容器装满水，然后倒入圆柱形容器中。填满圆柱形容器需要 3 次。因此，对于等底面积和等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍。

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从数学积分的角度来看，圆锥也是“圆”在垂直方向（Z轴）的叠加，但与圆柱不同的是，圆锥中“圆”的堆积是一个圆大小不同，Z轴正方向越多，圆的半径越小。
如下图，圆锥的正视图是一个三角形，半径实际上是三角形底边的一半。我们将三角形沿Z轴划分，分成两个直角三角形，直角三角形的斜边与Z轴的夹角设为θ，则tanθ=R/h，即R=h×tanθ .

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此时，仍然利用数学积分的知识，圆锥的体积公式可以计算为：

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从物理思维的角度分析这个问题，圆锥可以看成是一个直角三角形旋转形成的旋转体，体积等于直角三角形重心行进的距离乘以由直角三角形的面积。如下图，以R和h所在的直线为x和y轴建立笛卡尔坐标系，重心坐标点为??(R/3,h/3）.

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重心经过的距离是半径为R/3的圆的周长，即s=C=2π×(R/3），乘以圆的面积直角三角形（hr/2）@ >是圆锥的体积。

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以上是我们对一些规则物体体积的计算公式的介绍。那么我们如何知道一些形状不规则的物体的体积呢？这就需要我们使用设备来测量。让我们仔细看看测量体积的工具——量筒和量杯。

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虽然量筒和量杯都是量体积的工具，但在现实生活中很容易看出两者的区别。从形状上看：量筒粗细均匀，量杯上厚下薄；从刻度上看：量筒刻度均匀，量杯刻度上密下疏。从使用上看：量杯适合粗略测量大物体，量筒适合测量小物体。

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为什么量筒和量杯不一样？让我们从他们如何测量音量开始。实际上，这里使用了等价替换的方法。沉入液体中的固体（不吸水）将排出与固体体积相同的液体。因此，当将固体放入盛有适量水的量筒（量杯）中时，固体本身的体积会占据原量筒（量杯）中水的体积，那么这部分的水会沿着内壁自然上升。导致水体积增加的表面现象实际上是固体的体积。
由于量筒的形状厚度均匀，其刻度也均匀，同样的体积也会有同样的高度；而且量杯的形状是上厚下薄，所以鳞片也是上密下疏，同样的体积，因为下薄，上升的高度大，上部较厚，所以上升的高度较小。

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如图，同样是V=10ml，根据公式V=Sh，则h=V/S，向上越高，底部面积越大，对应的高度越小体积，所以它看起来像比例线密集和稀疏。也正因如此，量杯在测量较大物体时，液位上升越高，液面面积越大，读数误差越大；而量筒无论被测物的体积大小，读数误差基本相同。的。因此，在物理学中，我们主要关注量筒的使用。