分岔理论 _生活百科

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分岔理论【分岔理论】分岔理论或分歧理论（bifurcation theory）是数学中研究一群曲线在本质或是拓扑结构上的改变。一群曲线可能是向量场内的积分曲线，也可能是一群类似微分方程的解。
基本介绍中文名：分岔理论
外文名：bifurcation theory
又名：分歧理论
定义：一群曲线在拓扑结构上的改变
研究：非线性方程的参数对解的性质影响
套用学科：数学
简介研究分岔现象的特性和产生机理的数学理论。对于某些完全确定的非线性系统，当系统的某一参数μ连续变化到某个临界值μc时，系统的全局性性态（定性性质、拓扑性质等）会发生突然变化。μc称为参数μ 的分岔值或分枝值。这种现象称为分岔现象，是一种有重要意义的非线性现象。分岔现象不仅是数学现象，它在自然界中也有种种表现。早期，除了数学理论的研究外，通过数字计算机进行的数值实验是研究非线性微分方程中的分岔现象的主要手段。20世纪80年代前后，关于分岔的真正的实验观测也已在迅速增加。分岔（bifurcation）常出现在动态系统的数学研究中，是指系统参数（分岔参数）小而连续的变化，结果造成系统本质或是拓扑结构的突然改变。分岔会出现在连续系统（以常微分方程、时滞微分方程或偏微分方程来描述）或是离散系统中（以映射来描述）。bifurcation一词最早是由儒勒·昂利·庞加莱在1885年的论文中提出，这也是第一篇提到类似特性的数学论文，庞加莱后来也为许多不同的驻点命名而且分类。研究分岔现象的研究引起了众多领域的科学家的兴趣。理论和实验的结果都表明，分岔现象是出现在许多学科中的普遍物理现象。早在19世纪，C.雅可比、H.庞加莱等人就已引进“分岔”这一术语。迄今已出现了许多关于分岔理论的着作，其中除大量的数学文献外，在弹性结构、流体力学、天体物理学、化学反应、非线性振动、生物发育、基本粒子理论等领域中有关分岔现象的文献数量也很多。在系统与控制理论中，分岔理论可以用来探讨非线性系统中分岔现象的产生和消失、分岔性失稳的出现和控制以及分岔性失稳系统的调节和控制等问题。分岔理论也为协同学、耗散结构理论、数学生态学提供了有用的工具。20世纪70年代后期关于混沌现象和奇异吸引子的研究结果表明，连续发生的分岔现象往往是出现混沌现象的先兆。混沌现象是比分岔更为複杂的一类非线性现象。它不是简单的无序和混乱状态，而是没有明显的周期和对称、却具备丰富的内部层次的有序状态。分岔理论对许多实际系统的研究有重要意义。从数学角度来说，分岔理论主要研究非线性方程(微分方程、积分方程、差分方程等)中的参数对解的定性性质的影响。其中，参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关係是研究的重点。早在1885年，庞加莱就提出了一套平面动力学系统的平衡状态与参数的关係的理论。他研究了参数通过分岔值时系统轨线的拓扑结构的变化状况，建立了相应的判别準则。20世纪50年代，苏联学者A.A.安德罗诺夫推广了庞加莱的结果，并在非线性振动理论中加以套用。后来，又有人研究高维欧几里德空间或巴拿赫空间中的分岔理论，但结果还不多。分岔类型分岔可以分为以下的二种类型：局部分岔（Local bifurcations）是指分岔特性可以用局部稳定性完全分析的分岔，一般会用参数通过临界值时，平衡点、周期性轨迹或其他固定点的局部稳定性。