费希尔不等式 _生活百科

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费希尔不等式【费希尔不等式】费希尔不等式(Fisher's inequality)是反映设计存在的一种条件，指(v，b，r，k，λ)-BIBD存在时，参数b与v必须满足的不等式：b≥v，该不等式由费希尔(R.A.Fisher)于1940年发现，后来雷·乔德里(D.K.Ray-Chaudhuri)和威尔森(R.M.Wilson)将这个不等式推广到t设计的情形。
基本介绍中文名：费希尔不等式
外文名：Fisher's inequality
所属学科：数学（组合学）
简介：反映设计存在的一种条件
基本介绍费希尔不等式在(b，v，r，k，λ)设计中，b≥v 。雷·乔德里(D.K.Ray-Chaudhuri)和威尔森(R.M.Wilson)将这个不等式推广到t设计的情形。他们证明：若2s-(v，k，λ)设计存在，且v≥k+s，则

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若

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设计存在，且

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，则

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以上不等式称为推广的费希尔不等式。费希尔不等式的证明为了证明这一结果，需要引入一个很有帮助的概念，这就是区组设计的关联矩阵(incidence matrix)，如果一个设计有变元

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，区组

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，那幺A是一个由0和1组成的v×b矩阵，其中，如果xi在Bj中则A的i，j项是1，否则它是0(这就是点集关联矩阵) 。为了证明费希尔不等式，我们先给出以下结果，其证明请参考相应文献。定理1 在一个(b,v, r, k,λ)设计中有

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及

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定理2如果A是(b,v, r, k,λ)设计的关联矩阵，那幺

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其中AT是A的转置矩阵，I是v×v的单位矩阵，J是所有项为1的v×v矩阵。费希尔不等式的证明：我们假设b<v，并推导出一个矛盾。设A是关联矩阵。因为b<v,所以我们可以把v-b个0列加到A上，结果给出一个v×v方阵B，现在AAT= BBT,因为A的两行的内积等于B的两行的内积。取行列式，我们得出下面的结论:

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但是，detB=0，因为B有0列。因此，det(AAT)=0 。现在，根据定理2，有

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从等式(4)的右边的矩阵的每一个其他列中减去第一列不改变行列式,因此

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在(5)式的右边的矩阵的第一行加上所有其他行不改变这个行列式，因此，有

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因为(6)式的右边矩阵的对角线的上方都是0，所以它的行列式等于对角线上元素的积，所以有下面的等式:

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因为我们已得出结论

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，所以我们有

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但是因为r, v和λ都假设是正的，所以有