开平方运算


开平方运算

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开平方运算【开平方运算】开平方运算也即是开平方后所得的数的平方即原数,也就是说开平方是平方的逆运算 。开立方术即开方立运算.最早的文字记载见于《九章算术》“少广”章 。
基本介绍中文名:开平方
外文名:Open square operation
类别:数学运算
子类别:平方的逆运算
如何手动开平方不用平方根表和计算器,可不可以求出一个数的平方根呢?先一起来研究一下,怎样求 ,这里1156是四位数,所以它的算术平方根的整数部分是两位数,且易观察出其中的十位数是3.于是问题的关键在于;怎样求出它的个位数a?为此,我们从a所满足的关係式来进行分析.根据两数和的平方公式,可以得到1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2,所以 1156-30^2=2×30a+a^2,即 256=(30×2+a)a,这就是说,a是这样一个正整数,它与30×2的和,再乘以它本身,等于256.为便于求得a,可用下面的竖式来进行计算:根号上面的数3是平方根的十位数.将 256试除以30×2,得4(如果未除尽则取整数位).由于4与30×2的和64,与4的积等于256,4就是所求的个位数a.竖式中的余数是0,表示开方正好开尽.于是得到 1156=34^2,或√1156=34.上述求平方根的方法,称为笔算开平方法,用这个方法可以求出任何正数的算术平方根,它的计算步骤如下:开方的计算步骤1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开(竖式中的11’56),分成几段,表示所求平方根是几位数;2.根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数(竖式中的3);3.从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256);4.把求得的最高位数乘以2去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(2×30除256,所得的最大整数是 4,即试商是4);5.用商的最高位数的2倍加上这个试商再乘以试商.如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数,就把试商减小再试(竖式中(2×30+4)×4=256,说明试商4就是平方根的第二位数);6.用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数.如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值.例如求 的近似值(精确到0.01),可列出上面右边的竖式,并根据这个竖式得到笔算开平方运算较繁,在实际中直接套用较少,但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值.我国古代数学在开方上的成就我国古代数学的成就灿烂辉煌,早在公元前一世纪问世的我国经典数学着作《九章算术》里,就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法.据史料记载,国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍.这表明,古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的.开立方公式如何开立方设A = X^3,求X.称为开立方 。开立方有一个标準的公式:
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例如,A=5,,即求5介于1的3次方;至2的3次方;之间(1的3次方=1,2的3次方=8)初始值X0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,都可以 。例如我们取X0 = 1.9按照公式:第一步:X1=1.9+(5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7 。即5/1.9×1.9=1.3850416,1.3850416-1.9=-0.5149584,-0.5149584×1/3=-0.1716528,1.9+(-0.1716528)=1.7 。即取2位数值,,即1.7 。第二步:X2=1.7+(5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71 。即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71 。取3位数,比前面多取一位数 。第三步:X3=1.71+(5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.第四步:X4=1.709+(5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值偏小,输出值自动转大 。即5=1.7099^3;当然初始值X0也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 >。当然,我们在实际中初始值最好採用中间值,即1.5 。1.5+(5/1.5²-1.5)1/3=1.7 。如果用这个公式开平方,只需将3改成2,2改成1 。即