stolz【stolz】设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞（以下lim均表示lim(n-->+∞））则有：若lim(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)=L(L可以是0,有限数，或+∞（-∞））==>lim(An)/(Bn)=L
基本介绍中文名：施托兹定理
外文名：O'Stolz
别称：O'Stolz定理、施托尔兹定理、施乌兹定理
表达式：lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L、
提出者：Stolz
套用学科：数学
适用领域範围：数学、理工科
适用领域範围：数学领域、理工领域
基本信息设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞（以下lim均表示limn→∞）则有：若lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L（L可以是0，有限数，或+∞（-∞））→lim(An)/(Bn)=L证明如下1）当L=0时由条件得：对任意e>0 存在N使 当n>N时有：|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e，即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;又Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞，原式化为：|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......⑴；固定e，则存在N1>=N，当n>N1时，有-e*BN+|AN|<e*Bn 即|AN|<e*(BN+Bn) ..........⑵重要！！！！！|An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|，代入⑴式，得：<=e*(Bn-Bn-1）+.....+e(BN+1-BN)+|AN|，代入⑵式，得：<e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)即|An|<2e*Bn故|(An)/(Bn)-0|<2e 由数列定义知lim(An)/(Bn)=02）当L=C (C!=0）时即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,令Cn=An-C*Bn,显然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,由1）得：故lim(Cn)/(Bn)=0,即有lim(An)/(Bn)=C,3）当L=+∞（L=-∞时类证）时存在N，当n>N时有（An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1得出An>Bn>0，且满足An>0递增且有n-->+∞时An-->+∞所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即从正数趋近于0)由1）得：lim(Bn)/(An)=0+故lim(An)/(Bn)=+∞证毕