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蝴蝶定理【蝴蝶定理】蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一 。这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出证明 。而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶 。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中时有各种变形 。
基本介绍中文名：蝴蝶定理
外文名：Butterfly Theorem
别称：蝴蝶原理
表达式：XM=MY
提出者：W.G.霍纳
提出时间：1815年
套用学科：科学，数学，物理等
适用领域範围：理科，几何
适用领域範围：高等数学
验证推导：霍纳证法等
定理定义蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD 。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点 。去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立 。
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蝴蝶定理的证明验证推导霍纳证法过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连线ON，OM，OS，SL，ST，易证明△ESD∽△CSF
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证法1:霍纳证法∴DS/FS=DE/FC根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2∴DS/FS=DL/FT又∵∠D=∠F∴△DSL∽△FST∴∠SLD=∠STF即∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS作图法从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X'' 。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y'' 。（证明过程见图片）
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证明方法二对称法（证明过程见图片）
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证法3:对称证法面积法（证明过程见图片）【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】
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证法4:面积法帕斯卡证法连线CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连线IF、DJ交于K，连线GK、HK 。由帕斯卡定理得：M、O、K共线∵M为AB中点 ∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
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证法5:帕斯卡定理证法又∵CI、EJ为⊙O直径∴∠GFK=∠HDK=90°又∵∠GMK=∠HMK=90°∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH又∵∠GFM=∠MDH∴∠GKM=∠MKH又∵∠GMK=∠HMK=90°∴△GMK≡△HMK（ASA）∴GM=MH射影法
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1.构造特殊情况：如右图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.2.中心投影：在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图2，则对应存在P''O''=Q''O''.3.仿射：将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.定理推广该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外 。蝴蝶定理的圆外形式：如图，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过点M做OM垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF（证明方法可参考蝴蝶定理的证法2、3、4）